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相关试卷

1、某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（）

A、0.2 B、0.25 C、0.4 D、0.8

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2、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是对角线 $A C_{1}$ 上的动点（点 $P$ 在线段 $A C_{1}$ 上运动，包括线段两端点）.则下面说法中正确的有（　　）
①对任意的点 $P$ ， $△ A_{1} D P$ 是等腰三角形；
②存在点 $P$ ，使得 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} D P$ ；
③对任意的点 $P$ ， $△ A_{1} D P$ 的面积都不大于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；
④对任意的点 $P$ ， $△ A_{1} D P$ 的面积都不等于 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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3、已知直线 $l : x + (1 + a) y = 2 - a$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 12 = 0$ ，则该动直线与圆的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、不确定

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4、下列说法中正确的是（）

A、如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B、数列1，0， $- 1$ ， $- 2$ 与 $- 2$ ， $- 1$ ， 0，1是相同的数列 C、数列 $\{\frac{n + 1}{n}\}$ 的第k项为 $1 + \frac{1}{k}$ D、数列0，2，4，6， $\dots$ 可记为 $\{2 n\}$

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5、抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0, \frac{1}{16})$ B、 $(0, \frac{1}{8})$ C、 $(0, \frac{1}{4})$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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6、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + 2}$ 是奇函数
（1）求 $b$ 的值；
（2）判断并用定义法证明函数 $f (x)$ 的单调性；
（3）不等式 $f (x^{2} - m) + f (- m x + 4) < 0$ 对任意 $x \in [1, 3]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围

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7、如图所示，已知 $A B ⊥$ 平面ACD， $D E ⊥$ 平面ACD， $△ A C D$ 为等边三角形. $A D = D E = 2 A B$ ， F为CD的中点.

(1)、证明： $A F / /$ 平面BCE；

(2)、证明：平面 $B C E ⊥$ 平面CDE；

(3)、求直线AD和平面BCE所成的角的正弦值.

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8、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $4 S = a b cos B + b^{2} cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围.

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9、某科研课题组通过一款手机 $A P P$ 软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表及直方图：

周跑量（ $k m /$ 周）
人数
周跑量（ $k m /$ 周）
人数
$[10$ ， $15)$
100
$[35$ ， $40)$
150
$[15$ ， $20)$
120
$[40$ ， $45)$
60
$[20$ ， $25)$
130
$[45$ ， $50)$
30
$[25$ ， $30)$
180
$[50$ ， $55)$
10
$[30$ ， $35)$
220

(1)、请补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；

(2)、将周跑量在 $[10$ ， $25)$ ， $[25$ ， $40)$ ， $[40$ ， $55)$ 区间内的跑步爱好者依次记为 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取40人，求这三个组分别抽取的跑步爱好者人数；

(3)、根据以上图表数据，估计样本的下四分位数、众数及平均数（结果保留一位小数）．

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10、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}, |\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = 4$ ，求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量.

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11、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 1, A D = 2, A A_{1} = 2, ∠ B A D = 60 °$ ，点 $P$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{A_{1} D_{1}}$ 上的动点(不包括端点)，点 $Q$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上的动点(不包括端点)，若三棱锥 $P - B C Q$ 的外接球表面积为 $S$ ，则 $S$ 的取值范围是．

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12、若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是．

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13、不等式组 $0 \leq x^{2} - 2 x - 3 < 5$ 的解集为.

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14、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G分别是棱AD， $D D_{1}$ ， CD的中点，则（）

A、直线 $A_{1} G$ ， $C_{1} E$ 为异面直线 B、二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ C、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9

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15、如图所示， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图，其中 $O^{'} C^{'} = O^{'} A^{'} = 2 O^{'} B^{'} = 2$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 是钝角三角形 B、 $△ A B C$ 的面积是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积的2倍 C、 $△ A B C$ 是等腰直角三角形 D、 $△ A B C$ 的周长是 $4 + 4 \sqrt{2}$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = 2 D B$ ， $A E = 3 E C$ ， $C D$ 与 $B E$ 交于 $F$ ， $\overset{⃑}{A F} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A C}$ ，则 $(x, y)$ 为（）

A、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$

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17、解放碑是重庆的标志建筑物之一，因其特存的历义内涵，仍牵动着人们敬仰的目光，在海内外具有非凡的影响.我校数学兴趣小组为了测量其高度 $A B$ ，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点 $A$ 的仰角为 $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ ，且 $C D = D E = 22 m$ ，则解放碑的高 $A B$ 约为（）（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.449$ ）

A、 $24 m$ B、 $27 m$ C、 $30 m$ D、 $33 m$

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18、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 2 \sqrt{3}, B B_{1} = 2 \sqrt{5}$ ，则三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为（）

A、 $25 π$ B、 $29 π$ C、 $32 π$ D、 $36 π$

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19、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，下列命题中错误的是

A、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α$ ∥ $β$ B、若 $α$ ∥ $γ$ ， $β$ ∥ $γ$ ，则 $α$ ∥ $β$ C、若 $m \subset α, n \subset β, m$ ∥ $n$ ，则 $α$ ∥ $β$ D、若 $m, n$ 是异面直线， $m \subset α, n \subset β, m$ ∥ $β$ ， $n$ ∥ $α$ ，则 $α$ ∥ $β$

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20、为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（）
① $a$ 的值为0.005；
②估计成绩低于60分的有25人；
③估计这组数据的众数为75；
④估计这组数据的第85百分位数为86．

A、②③ B、①③④ C、①②④ D、①②③

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周跑量（ $k m /$ 周）	人数	周跑量（ $k m /$ 周）	人数
$[10$ ， $15)$	100	$[35$ ， $40)$	150
$[15$ ， $20)$	120	$[40$ ， $45)$	60
$[20$ ， $25)$	130	$[45$ ， $50)$	30
$[25$ ， $30)$	180	$[50$ ， $55)$	10
$[30$ ， $35)$	220