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相关试卷

1、如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角 $β$ 为 $60 °$ ，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角 $α$ 为 $30 °$ ，根据以上数据可得古塔AB的高为（）米.

A、 $10 \sqrt{3}$ B、20 C、10 D、 $10 \sqrt{2}$

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2、复数 $\frac{i^{2024}}{1 + i} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

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3、设 $m$ 是一条直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m // β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m // α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $α // β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $α // β$ ， $m // α$ ，则 $m // β$

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4、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (t, - 1)$ ，若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、3

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5、设 $z$ ， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数， $z_{1} \neq z_{2}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $z z_{1} = z z_{2}$ 则 $z = 0$ B、若 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ 则 $|z z_{1}| = |z z_{2}|$ C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ 则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、 $|z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$

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6、甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，则甲以 $3 : 1$ 的比分获胜的概率为．

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7、设 $n$ 为正整数， $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ， $β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，记 $M (α, β) = \frac{1}{2} [(x_{1} + y_{1} - |x_{1} - y_{1}|) + (x_{2} + y_{2} - |x_{2} - y_{2}|) + \dots + (x_{n} + y_{n} - |x_{n} - y_{n}|)]$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，若 $α = (1, 0)$ ， $β = (0, 1)$ ，求 $M (α, β)$ 的值；

(2)、当 $n = 3$ 时，设集合 $P = \{α | α = (t_{1}, t_{2}, t_{3}), t_{k} \in \{0, 1\}, k = 1, 2, 3\}$ ，设 $Q$ 是 $P$ 的子集，且满足：对于 $Q$ 中的任意两个不同的元素 $α, β$ ， $M (α, β) = 0$ .写出一个集合 $Q$ ，使其元素个数最多；

(3)、当 $n = 3$ 时， $α = (\sin A, \sin B, \sin C)$ ， $β = (\cos A, \cos B, \cos C)$ ，其中 $A, B, C$ 是锐角 $△ A B C$ 的三个内角，证明： $M (α, β) < 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ .

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8、已知 $a \geq 1$ ，函数 $f (x) = \ln (x + 3) + x + \ln a$ .

(1)、若 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) < x + 1$ ；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有唯一零点；

(3)、设 $f (x_{0}) = 0$ ，证明： $\frac{3 a}{x_{0} + 3} - \ln (x_{0} + 3) > 0$ .

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $A D ⊥ C D$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若三棱锥 $P - A B D$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ ，求 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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10、本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩，被抽取的成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按照如下方式分成六组：第一组 $[40, 50)$ ，第二组 $[50, 60)$ ， …，第六组 $[90, 100]$ ，画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求该样本的中位数；

(3)、为进一步了解学生的学习情况，从分数位于 $[50, 80)$ 的学生中，按照第二组，第三组，第四组分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数不在同一组内的概率.

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11、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值，以及相应 $x$ 的值.

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12、已知 $x > y > 0$ ， $\frac{3}{x + y} + \frac{2}{x - y} = 1$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为.

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13、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， ${sin}^{2} α = cos 2 α$ ，则 $tan α =$ .

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{2}{1 - x}, x \leq 0 \\ x^{2}, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ .

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15、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点，沿直线 $D E$ 将 $△ A D E$ 翻折成 $△ A_{1} D E$ （ $A_{1}$ 不在平面 $B C D$ 内）， $M$ 是 $A_{1} C$ 的中点，设二面角 $A_{1} - D E - C$ 的大小为 $θ$ .（）

A、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，则 $A_{1} C ⊥ D E$ B、直线 $B M$ 与 $A_{1} E$ 所成的角为定值 C、若 $θ = \frac{2π}{3}$ ，则三棱锥 $A_{1} - C D E$ 的外接球的表面积为 $\frac{14}{3} π$ D、设直线 $A_{1} D$ 与平面 $B C D E$ 所成的角为 $α$ ，则 $\sin θ = \sqrt{2} \sin α$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ，以下判断正确的是（）

A、若 $a = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ B、若 $C = \frac{π}{4}$ ，则 $b = \sqrt{3}$ C、若 $b = \sqrt{7}$ ，则 $a = 3$ D、若 $△ A B C$ 有两解，则 $b \in (\sqrt{3}, 2)$

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ， $\vec{c} = (3, - 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| = 10$ D、向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量为 $(\frac{3}{10}, - \frac{1}{10})$

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 中心对称， $f (2 x + 2)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (3) = 0$

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19、一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件 $A =$ “第一次摸出球的标号小于3”，事件 $B =$ “第二次摸出球的标号小于3”，事件 $C =$ “第一次摸出球的标号为奇数”，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、 $A$ 与 $C$ 互斥 D、 $A$ 与 $C$ 相互独立

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20、若样本 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 的平均数为10，方差为20，则样本 $2 (x_{1} - 2)$ ， $2 (x_{2} - 2)$ ， $2 (x_{3} - 2)$ ， $\dots$ ， $2 (x_{n} - 2)$ 的平均数和方差分别为（　　）

A、16，40 B、16，80 C、20，40 D、20，80

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