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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ ，且向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- 2 \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2、已知三个不同的平面 $α, β, γ$ ，且 $α ⊥ γ$ ，则“ $β ⊥ γ$ ”是“ $α / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组： $[5, 10)$ ， $[10, 15)$ ， $[15, 20)$ ， $[20, 25)$ ， $[25, 30)$ ， $[30, 35)$ ， $[35, 40]$ （棉花纤维的长度均在 $[5, 40]$ 内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；

(2)、估计棉花纤维的长度的75%分位数．

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4、已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足 $Y = 2 X - 1$ ，则 $P (Y \geq 3) =$ （）
X
0
1
2
3
P
a
$\frac{1}{3}$
5a
$\frac{1}{6}$

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{a x}{x + 1} (a > 0)$ .

(1)、若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $[0, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： ${(\frac{2024}{2023})}^{2024} > e$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

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6、已知 $\{a_{n}\}$ 数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n} = 2 a_{n} - 3 n (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 3\}$ 是等比数列，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{3} (a_{n} + 3)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）.

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7、已知 $a \in N^{*}$ ，函数 $f (x) = e^{x} - x^{a} > 0$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为.

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8、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左､右焦点， $P$ 为椭圆上一点且 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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9、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ 、 $A A_{1}$ 的中点， $G$ 为线段 $B_{1} C$ 上一个动点，则（）

A、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的体积为定值 B、存在点 $G$ ，使平面 $E F G //$ 平面 $B D C_{1}$ C、当点 $G$ 与 $B_{1}$ 重合时，二面角 $G - E F - A_{1}$ 的正切值为 $2 \sqrt{2}$ D、当点 $G$ 为 $B_{1} C$ 中点时，平面 $E F G$ 截正方体所得截面的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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10、已知直线 $y = k x + m$ （ $m$ 为常数）与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于点 $M ， N$ ，当 $k$ 变化时，若 $| M N |$ 的最小值为2，则 $m =$

A、 $\pm 1$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm 2$

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11、已知 $ξ$ 的分布列为
$ξ$
1
2
3
4
$P$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{3}$
$m$
设 $η = 2 ξ - 5$ ，则 $E (η) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{19}{6}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12、已知函数 $f (x) = ln x + \frac{1}{2} x^{2} - a x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的最大值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，且存在 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 1 - 2 a$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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13、为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
训练前
4
7
5
9
5
2
8.5
6
7
5
训练后
8.5
9.5
7.5
9.5
8.5
6
9.5
8.5
9
9
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
训练后
合计

(1)、将上面的列联表补充完整，并根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；

(2)、从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；

(3)、为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行 $A$ 和 $B$ 两个武术项目的训练考核， $A$ 、 $B$ 项目考核相互独立，且每天考核互相不影响， $A$ 项若为优秀得2分，概率为 $p$ ， $B$ 项若为优秀得3分，概率为 $\frac{1}{3}$ ，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 $f (p)$ ，求 $p$ 为何值时， $f (p)$ 取得最大值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} + a \ln x$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程

(2)、当 $a = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值

(3)、若 $g (x) = f (x) + \frac{2}{x}$ 在 $[1,+ \infty)$ 上是单调增函数，求实数a的取值范围.

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15、有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球.

(1)、从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率；

(2)、从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 $A_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$
①求 $P (A_{1} + A_{2})$
②求 $P (A_{4})$

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16、已知函数 $f (x) = (m - 2) \cdot e^{x} + x^{2} - n x$ ，若 $\emptyset \neq \{x ∣ f (x) = 0\}$ ⫋ $\{x ∣ f (f (x)) = 0\}$ ，则 $m =$ ， $m^{n}$ 的取值范围为.

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17、已知随机变量 $ξ ~ N (1, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 0) = P (ξ \geq a)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{9}{a - x} (0 < x < a)$ 的最小值为．

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18、已知关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - m x + 1 \leq 0$ ，若此不等式的解集为 $\emptyset$ ，则实数m的取值范围是

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19、已知 $a > 0, e^{a} = \ln \frac{e}{b}$ ，下列说法成立的是（）

A、 $a + \ln b < 0$ B、 $e^{a} + b > 2$ C、 $\ln a + e^{b} < 0$ D、 $a + b > 1$

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20、某人在 $n$ 次射击中击中目标的次数为 $X, X ~ B (n, p)$ ，其中 $n \in N *, 0 < p < 1$ ，击中偶数次为事件A，则（）

A、若 $n = 10, p = 0.8$ ，则 $P (X = k)$ 取最大值时 $k = 9$ B、当 $p = \frac{1}{2}$ 时， $D (X)$ 取得最小值 C、当 $\frac{1}{2} < p < 1$ 时， $P (A)$ 随着 $n$ 的增大而减小 D、当 $0 < p < \frac{1}{2}$ 的， $P (A)$ 随着 $n$ 的增大而减小

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	1		2	3	4		5	6	7	8		9	10
训练前	4		7	5	9		5	2	8.5	6		7	5
训练后	8.5		9.5	7.5	9.5		8.5	6	9.5	8.5		9	9
		优秀人数				非优秀人数					合计
训练前
训练后
合计

X	0	1	2	3
P	a	$\frac{1}{3}$	5a	$\frac{1}{6}$

$ξ$	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$m$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828