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相关试卷

1、汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间 $t_{0}$ 、人的反应时间 $t_{1}$ 、系统反应时间 $t_{2}$ 、制动时间 $t_{3}$ ，相应的距离分别为 $d_{0}$ ， $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ ，当车速为v（单位：m/s），且 $0 \leq v \leq 33.3$ 时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且 $0.5 \leq k \leq 0.9$ ）.

阶段
准备
人的反应
系统反应
制动
时间
$t_{0}$
$t_{1} = 0.8 s$
$t_{2} = 0.2 s$
$t_{3}$
距离
$d_{0} = 20 m$
$d_{1}$
$d_{2}$
$d_{3} = \frac{v^{2}}{20 k} m$

(1)、请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当 $k = 0.9$ 时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t

(2)、若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h.

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2、命题 $α$ ：关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 3 x + m + 2 = 0$ 有两个相异负根．命题 $β$ ：关于
$x$ 的不等式 $x^{2} + 4 m x + 8 m + 12 > 0$ 对 $x \in R$ 恒成立．

(1)、若命题 $α$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数 $m$ 的取值范围．

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3、已知R的子集U为一个数集，集合 $A = \{s^{2} + 3 t^{2} | s, t \in U\}$ .

(1)、设 $U = {1, 3, 5}$ ，求：集合A的非空真子集个数；

(2)、设 $U = Z$ ，证明：若 $x \in A$ ，则 $7 x \in A$ .

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4、集合 $P = \{x ∣ x = 2 k, k \in Z\}$ ， $Q = \{x ∣ x = 2 k + 1, k \in Z\}$ ， $M = \{x ∣ x = 4 k + 1, k \in Z\}$ ，且 $a \in P$ ， $b \in Q$ ，则（　　）

A、 $a + b \in P$ B、 $a + b \in Q$ C、 $a + b \in M$ D、 $a + b$ 不属于 $P$ ， $Q$ ， $M$ 中的任意一个

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5、已知a，b， $c \in R$ ，则“ $a \leq b$ ”的必要不充分条件可以是下列的选项（）

A、 $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ B、 $a c \leq b c$ C、 $a c^{2} \leq b c^{2}$ D、 $a^{2} \leq b^{2}$

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6、集合 $M = \{930, - 5, - 1, 0, π\}$ 有5个元素，设 $M$ 的所有非空子集为 $M_{i} (1, 2, \dots, 31)$ ，每一个 $M_{i}$ 中所有元素乘积为 $m_{i} (i = 1, 2, \dots, 31)$ ，则 $m_{1} + m_{2} + m_{3} + \dots + m_{31} =$ .

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7、已知不等式 $x^{2} - 6 x + a (6 - a) < 0$ 的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为.

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8、已知集合 $P = \{x| - 2 \leq x \leq 10\}$ ， $Q = \{x| x^{2} - 2 x + (1 - m^{2}) \leq 0\}$ ，其中 $m > 0$ ，全集 $U = R$ .若“ $x \in \bar{P}$ ”是“ $x \in \bar{Q}$ ”的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

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9、如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是（请用各集合的交，并，补表示）

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10、已知关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} x^{2} - x - 2 > 0 \\ 2 x^{2} + (2 k + 5) x + 5 k < 0 \end{array}$ 的整数解的集合为 $\{- 2\}$ ，则实数k的取值范围是．

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11、下列不等式中，不成立的是．（填序号）
①若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ ；②若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ ；③若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ；
④若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ；⑤若 $a > b$ ，若 $a^{5} > b^{5}$ ；⑥若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；
⑦若 $a > b > 0$ ， $0 < c < d$ ，则 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ ；⑧若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ ．

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12、若一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的两根分别为a，b，则 $a^{2} - 2 a + a (b - 2) - 2024 =$ .

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13、若关于x的不等式x²－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为．

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14、若 $x > - 1$ ，则 $\frac{2 x^{2} + 4 x + 4}{x + 1}$ 的最小值为.

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15、化简： $\sqrt[3]{a^{5}} \cdot {(\frac{1}{a})}^{\frac{5}{2}} \cdot a^{\frac{5}{6}}$ =.

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16、设满足 $x^{2} - 2024 b + 2025 c > 0$ 的解集为 $(2, 8)$ 的 $(b, c)$ 所组成的集合为A，则 $A =$ .

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17、0N（选填“ $\in$ ”或“∉”）

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18、已知集合 $A = \{1, a\}$ ， $B = \{2, a^{2}\}$ ，若 $A \cup B$ 中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（）

A、 $\{0\}$ B、 $\{- 1, 2\}$ C、 $\{0, 2\}$ D、 $\{0, - 1, 2\}$

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19、已知函数 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 不全为0，并约定 $a_{n + 1} = 0$ ，设 $b_{k} = (k + 1) a_{k + 1} - a_{k}$ ，称 $g (x) = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{n} x^{n}$ 为 $f (x)$ 的“伴生函数”．

(1)、若 $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ ，求 $g (x)$ ；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，且曲线 $y = ln f (x) (x > 0)$ 上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当 $x > 0$ 时， $g (x) \geq f (x)$ ；

(3)、若 $a_{0} = 0$ ，证明：对于任意的 $m \in (0, + \infty)$ ，均存在 $t \in (0, m)$ ，使得 $g (t) < \frac{f (m)}{m}$ ．

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面ABC⊥平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $A C = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，底面ABC为等腰三角形， $A B = B C$ ， O是AC的中点．

(1)、证明：平面 $O A_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若平面 $A O B_{1}$ 与平面 $O B_{1} C_{1}$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

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