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相关试卷

1、 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．

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2、如图，已知圆台 $O O^{'}$ 的下底面直径 $A B = 4$ ，母线 $B C = 2$ ，且 $A C ⊥ B C$ ， $P$ 是下底面圆周上一动点，则（）

A、圆台 $O O^{'}$ 的侧面积为 $6 π$ B、圆台 $O O^{'}$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ C、当点 $P$ 是弧 $A B$ 中点时，三棱锥 $A - B C P$ 的内切球半径 $r > \frac{2}{3}$ D、 $P A + 2 P C$ 的最大值为 $6 \sqrt{2}$

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3、下列命题错误的是（）

A、线性相关模型中，决定系数 $R^{2}$ 越大相关性越强，相关系数 $r$ 越大相关性也越强 B、回归直线至少会经过其中一个样本点 $(x_{i}, y_{i})$ C、已知一系列样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 2 x + \hat{a}$ ，若样本点 $(m, 2)$ 与 $(3, n)$ 的残差相等，则 $2 m + n = 8$ D、以 $y = a e^{b x}$ 模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设 $z = ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 4 x + ln 3$ ，则 $a, b$ 的值分别为3，4

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4、下列选项中正确的有（）

A、已知 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量长度为 $\frac{1}{2} |\vec{b}|$ ，且 $|\vec{b}| = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{25}{2}$ B、 $|(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$ C、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = \sqrt{7}$ D、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, 3)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{8}, + \infty)$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + (1 - 4 a^{2}) x + b (a \geq \frac{1}{2}, b \in R)$ ，当 $x \in ［ 0 ， 2]$ 时，记 $|f (x)|$ 的最大值为 $M$ ，有 $M \geq k$ ，则实数 $k$ 的最大值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6、体积为1的正三棱锥的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7、袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用 $X$ 表示终止取球时所需的取球次数，则 $P (X = 3) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8、科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量 $b$ 进制随机数据中，以 $n$ 开头的数出现的概率为 $P_{b} (n) = {log}_{b} \frac{n + 1}{n}$ ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 $\sum_{n = 5}^{k} p_{16} (n) = \frac{ln 6 - ln 2}{ln 2 + ln 8} (k \in N^{*}, k > 4)$ ，则 $k$ 的值为（）

A、14 B、15 C、24 D、25

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9、若 $a, b > 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $3^{a} - ln b > 3^{b} - ln a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知复数 $z = \frac{2 - i}{i}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4 i$ D、 $4 i$

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11、若集合 $M = \{x |ln x > 0\}, N = \{x |\frac{x}{x + 1} > 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x |x < - 1$ 或 $x > 0}$ B、 $\{x| - 1 < x < 0$ 或 $x > 1\}$ C、 $\{x |0 < x < 1\}$ D、 $\{x |x > 1\}$

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12、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $C D$ 上靠近点 $C$ 的三等分点.

(1)、设 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，求 $λ + μ$ 的值；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B C = 2$ ，求 $\vec{A F} \cdot \vec{E F}$ 的值.

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13、现定义“ $n$ 维形态复数 $z_{n}$ ”： $z_{n} = \cos n θ + i \sin n θ$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $n \in N^{*}$ ， $θ \neq 0$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{4}$ 时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；

(2)、若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求 $\sin (θ + \frac{π}{4})$ 的值；

(3)、若正整数 $m$ ， $n (m > 1, n > 2)$ ，满足 $z_{m} = z_{1}$ ， $z_{n} = z_{m}^{2}$ ，证明：存在有理数 $q$ ，使得 $m = q \cdot n + 1 - 2 q$ .

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14、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} a (c \sin C + b \sin B - a \sin A)$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 的周长为5，设 $D$ 为边BC中点，求AD.

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15、已知在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, tan ∠ B A C = \frac{3}{4}$ ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为.

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16、下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）

A、这10年粮食年产量的极差为15 B、这10年粮食年产量的第65百分位数为33 C、这10年粮食年产量的中位数为29 D、前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差

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17、已知函数 $f (x) = \sin x - x + a x^{2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = π$ 处的切线过原点，求a的值；

(2)、当 $x \leq 5$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围．

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18、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、解关于 $n$ 的不等式： $a_{1} C_{n}^{0} + a_{2} C_{n}^{1} + a_{3} C_{n}^{2} + \dots + a_{n + 1} C_{n}^{n} < 2023$ ；

(3)、若 $c_{1} = 1, b_{n} = \frac{1}{2 a_{n}} = c_{n + 1} - c_{n}, d_{n} = \frac{1}{c_{n}} - \frac{1}{c_{n + 1}}$ ，求证：数列 $\{b_{n} d_{n}\}$ 前 $n$ 项和小于 $\frac{1}{3}$ ．

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19、设点 $F$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，过点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{5}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $O$ 为坐标原点）． $S_{△ A O B} = 2 \sqrt{6}$

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $E (0, 2)$ 作两条斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，它们分别与抛物线 $C$ 交于点 $P, Q$ 和 $R, S$ ．已知 $|E P| \cdot |E Q| = |E R| \cdot |E S|$ ，问：是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{1} + λ k_{2}$ 为定值？若存在，求 $λ$ 的值，若不存在，请说明理由．

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20、四边形ABCD是平行四边形， $∠ C B A = \frac{π}{4}$ ，四边形ABEF是梯形， $B E // A F$ ，且 $A B ⊥ A F$ ， $A B = B E = \frac{1}{2} A F = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．

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