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1、已知函数 $f (x)$ 对任意 $x \in R$ 都有 $f (x) = - f (x + 2)$ ，且函数 $f (x + 1)$ 的图象关于 $(- 1, 0)$ 对称，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = t a n x$ .则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(k, 0) (k \in Z)$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2 k (k \in Z)$ 对称 C、函数 $y = | f (x) |$ 的最小正周期为2 D、当 $x \in [2, 3]$ 时， $f (x) = t a n (x - 2)$

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2、下列关于函数 $f (x) = t a n x + \frac{1}{t a n x}$ 的四个结论中错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递增

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ， $f (1) = 1$ ，则 $f (2024) =$ ．

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 是奇函数， $f (x - 1)$ 是偶函数， $f (0) = 1$ ，则 $f (726) =$ ．

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5、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ .若 $f (x + 4) = g (- x) + 2$ ， $g^{'} (x + 2) = f^{'} (x)$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、 $g (2023) + g (2025) = - 2$ C、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2023} g (k) = 0$

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6、德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{array}$ 的结论正确的是（）

A、 $D (D (x))$ 有零点 B、 $D (x)$ 是单调函数 C、 $D (x)$ 是奇函数 D、 $D (x)$ 是周期函数

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域 $D = (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，恒有 $f (x_{1} x_{2}) - x_{1} - x_{2} = x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1}) - 1$ ，且当 $x_{1} > x_{2} > 0$ 时， $\frac{x_{1} f (x_{2}) - x_{2} f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ 恒成立， $f (2) = - 3$ ，则不等式 $(x + 1) f (\frac{1}{x + 1}) + x + 2 > f (- 1)$ 的解集为.

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8、已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且在R上单调递增.若 $f (2 a) + f (a - 2) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值可以是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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9、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x}, x < 0 \\ g (x), x > 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $x > 0$ 时， $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $- {(\frac{1}{2})}^{x}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $- 2^{x}$ D、 $2^{x}$

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $y f (x) - x f (y) = x y (x - y)$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 有最小值 D、 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增

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11、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (\frac{3}{2} - 2 x)$ ， $g (2 + x)$ 均为偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (- \frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (- 1) = f (4)$ D、 $g (- 1) = g (2)$

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y), f (1) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、0 D、1

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13、设函数 $f (x) = 2^{x (x - a)}$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ B、 $[- 2, 0)$ C、 $(0, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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14、记表 $m a x_{x \in [a, b]} {f (x)}$ 示 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值，则 $m a x_{x \in [0, 1]} {| x^{2} - x + c |}$ 取得最小值时， $c =$ .

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, + \infty)$ ，且满足① $f (x f (y)) f (y) = f (x + y)$ ；② $f (2) = 0$ ；③当 $x \in [0, 2)$ 时， $f (x) \neq 0$ ，则（）

A、 $f (3) = - 2$ B、若 $f (x + y) = 0$ ，则 $x \geq 2 - y$ C、 $f (1) = 2$ D、 $f (x)$ 在区间 $[0, 2)$ 是减函数

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16、具有性质： $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ 的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数：① $y = l n \frac{1 - x}{1 + x}$ ；② $y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ ；③ $y = {\begin{array}{l} x, 0 < x < 1, \\ 0, x = 1, \\ - \frac{1}{x}, x > 1 . \end{array}$ 其中满足“倒负”变换的函数是．

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17、若函数 $f (x) = 2 x^{2} l n | x |$ 的定义域为 $D$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $D = (0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $\forall x \in D, y \in D, f (x y) = x^{2} f (y) + y^{2} f (x)$ D、若方程 $f (x) = k$ 有4个不同的实数根，则 $- \frac{1}{e} < k < 0$

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18、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 2 f (x) + 1$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $f (100) =$ （）

A、 $2^{100} - 1$ B、 $2^{100} + 1$ C、 $2^{101} - 1$ D、 $2^{101} + 1$

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19、已知向量 $\vec{a} = (m, - 7)$ ， $\vec{b} = (1 - 3 m, 0)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，求：

(1)、实数m的取值范围；

(2)、函数 $f (x) = \sqrt{m^{2 x + 18} - m^{x^{2} - x}}$ 定义域.

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20、若函数 $f (x) = l o g_{2} (x + m) + 2$ 的反函数的图象经过点 $(3, 1)$ ，则 $f (3) =$ .

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