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相关试卷

1、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m}$ 在 $(0, + ∞)$ 上单调递减，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、3 D、1

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2、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) f (x - y) = f^{2} (x) - f^{2} (y), f (1) = 1, f (2) = 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (3) = - 1$ C、 $f (- 1) = - f (5)$ D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = 1$

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3、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，满足 $f (x - 2) + f (- x) = 0$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 是周期函数．

(2)、当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = 1 - x$ ．若 $g (x) = f (x) - a | x |$ 恰有14个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称，且 $f (x + 1) + f (x + 2) = 0$ ，当 $x \in [0, \frac{1}{2}]$ 时， $f (x) = \frac{6 x}{x + 1}$ ．若 $f (m) > \frac{6}{7} (0 < m < 4)$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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5、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ .若 $f (x)$ 满足 $f (2 + 3 x) = f (- 3 x), g (x - 2)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称，且 $g (0) = 1$ ，则（）

A、 $g (x)$ 是偶函数 B、 $g (x) = g (x + 4)$ C、 $f (x) + f (- x) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} g (\frac{k}{2}) = 0$

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6、已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且当 $x_{1}, x_{2} \in (- ∞, 0), x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，若 $a = f (l o g_{\frac{1}{2}} 3)$ ， $b = f (0 . 5^{0.2}), c = f (s i n 1)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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7、求下列情况下 $a$ 的值

(1)、若函数 $f (x) = x^{3} (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，求 $a$ 的值．

(2)、已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = - e^{a x}$ ，若 $f (l n 2) = 8$ ，求 $a$ 的值．

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8、已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) - k x$ （其中 $k \in R$ ）为偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、讨论函数 $g (x) = (2 k)^{f (x)} - (m \cdot 2^{x} - m) (m > 0)$ 的零点情况.

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9、已知函数 $f (x)$ 是偶函数，对任意 $x \in R$ ，均有 $f (x) = f (x + 2)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x$ ，则函数 $g (x) = f (x) - l o g_{5} (x + 1)$ 的零点有个.

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10、函数 $g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} + l n \frac{2 - x}{2 + x} + 2$ ，若 $g (a) = 6$ ，则 $g (- a) =$ .

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11、已知 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6})$ ， $g (x) = s i n (x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度可以得到 $g (x)$ 的图象 B、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度可以得到 $g (x)$ 的图象 C、 $f (x)$ 的图象与 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象与 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数， $f (2 x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (1) + f (7) = 0$ D、 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2024) = 0$

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13、已知函数 $f (x) = s i n x \cdot | c o s x |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$ D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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14、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，对任意实数x都有 $f (x + 2) = - f (x)$ 成立，且函数 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + ⋯ + f (2024) =$ （）

A、-1 B、0 C、1012 D、2024

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15、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ .则 $f (100) =$ .

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16、定义在 $(0, + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足下列条件：（1） $f (\frac{x}{y}) = y f (x) - x f (y)$ ；（2）当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$ C、 $f (x^{2}) ≥ 2 f (x)$ D、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减

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17、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (x + 3) = f (2024)$ ， $f (- x) = f (x + 2)$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为4 B、 $f (2) = 0$ C、函数 $f (x - 1)$ 是奇函数 D、 $\sum_{k = 1} k \cdot f (k - \frac{1}{2}) = - 2024$

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18、函数 $f (x)$ 满足：当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{4 x - x^{2}}, 0 < x \leq 2 \\ 2^{| x - 3 |} + \frac{1}{3}, x > 2 \end{array}$ ， $y = f (x) + \frac{1}{2}$ 是奇函数．记关于 $x$ 的方程 $f (x) - k x + \frac{1}{2} = 0 (k \in R)$ 的根为 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{m}$ ，若 $\sum_{i = 1}^{m} f (x_{i}) = - \frac{7}{2}$ ，则 $k$ 的值可以为（）

A、 $\frac{11}{18}$ B、 $\frac{17}{12}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、1

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19、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足对任意实数 $x$ 都有 $f (x + 3) = f (x + 2) f (x + 1)$ ， $f (x) = f (2 - x)$ 成立，若 $f (2) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{n} f (k) =$ ．

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20、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ .若函数 $y = f (x + 1) - x$ 与 $y = g (x + 2)$ 均为偶函数，则下列结论中正确的是（）

A、 $g^{'} (2) = 0$ B、函数 $y = \frac{f (x + 1)}{x}$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称 C、 $g (x + 2) = g (x)$ D、 $\sum_{k = 1} g (k) = 2025$

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