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相关试卷

1、设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $m // n$ ，则 $n // β$ C、若 $m$ ， $n$ 是两条不同的异面直线， $m / / α, n / / β$ ， $m \subset β$ ， $n \subset α$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ n$ ， $α // β$ ，则 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角互余

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2、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} |=2,| \vec{b} |=1,| \vec{a} −2 \vec{b} |=2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3、已知方程 $\frac{x^{2}}{k + 5} + \frac{y^{2}}{3 - k} = 1$ 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）

A、 $(- 5, 3)$ B、 $(- 5, - 1)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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4、对于任意给定的四个实数 $a_{11}$ ， $a_{12}$ ， $a_{21}$ ， $a_{22}$ ，我们定义方阵 $A = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array})$ ，方阵 $A$ 对应的行列式记为 $det (A)$ ，且 $det (A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ ，方阵 $A$ 与任意方阵 $B = (\begin{array}{l} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array})$ 的乘法运算定义如下： $A \times B = C$ ，其中方阵 $C = (\begin{array}{l} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array})$ ，且 $c_{m n} = \sum_{i = 1}^{2} a_{m i} b_{i n} (m, n \in \{1, 2\})$ .设 $M = (\begin{matrix} cos α & - sin α \\ sin α & cos α \end{matrix})$ ， $N = (\begin{matrix} cos β & sin β \\ - sin β & cos β \end{matrix})$ ， $E = (\begin{array}{l} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ .

(1)、证明： $det (M \times N) = det (E)$ .

(2)、若方阵 $A$ ， $B$ 满足 $A \times B = E$ ，且 $det (A), det (B) \in Z$ ，证明： $|det (A) + det (B)| = det (M) + det (N)$ .

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5、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $H (- 4, y_{0})$ 到坐标原点 $O$ 的距离为 $4 \sqrt{2}$ .过点 $P (0, 2)$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，分别过 $A$ ， $B$ 两点作 $l$ 的垂线，并与 $y$ 轴相交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $|P N| = 4 |P M|$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若 $k \in [1, 2]$ ，记 $△ P A M$ ， $△ P B N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} + S_{2}$ 的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = a x + ln (x + 1)$ .

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合.

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $B C ∥ A D$ ，侧面 $P A D$ 是边长为8的等边三角形， $A B = B C = 6$ ， $\vec{P E} = 3 \vec{E D}$ .

(1)、证明： $C E ∥$ 平面 $P A B$ .

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

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8、行人闯红灯对自己和他人都可能造成极大的危害，某路口监控设备连续5个月抓拍到行人闯红灯的统计数据如下.
月份序号 $x$
1
2
3
4
5
闯红灯人数 $y$
1040
980
860
770
700

(1)、根据表中的数据，求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、某组织观察200名行人通过该路口时，发现有4人闯红灯，以这200名行人闯红灯的频率作为通过该路口行人闯红灯的概率，若某段时间内共有10000名行人通过该路口，记闯红灯的行人人数为 $X$ ，求 $E (X)$ .
附：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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9、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x - 1)$ 为奇函数，且当 $x \in (- 1, 1]$ 时， $f (x) = |x|$ .当 $x \in [0, 8]$ 时，函数 $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 与 $f (x)$ 图象的交点个数为.

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10、已知 $S$ 为圆锥的顶点， $A B$ 为该圆锥底面的一条直径，若该圆锥的侧面积为底面积的3倍，则 $cos ∠ A S B =$ .

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11、已知向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (4, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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12、已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x ln y + y ln x = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $0 < x < 1$ ，则 $y > e$ B、若 $1 < x < e$ ，则 $2 x + 3 y > 5 e$ C、若 $|x - y| < e - 1$ ，则 $2 < x + y < 2 e$ D、若 $1 < x < \sqrt{e}$ ，则 $\sqrt{e} < y < e$

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13、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的左支相交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $P Q ⊥ P F_{2}$ ，且 $4 |P Q| = 3 |P F_{2}|$ ，则（）

A、 $|P Q| = 2 a$ B、 $\vec{P F_{1}} = - 2 \vec{Q F_{1}}$ C、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ D、直线 $P Q$ 的斜率为 $\pm 4$

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14、若一组数据14，17，11，9，12，15， $m$ ， 8，10，7的第65百分位数为12，则 $m$ 的值可能为（）

A、8 B、10 C、13 D、14

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15、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A D = 1$ ， $M$ 是 $C_{1} D$ 上一点，且 $C M ⊥ B_{1} D$ ，则四棱锥 $M - A B C D$ 的体积为（）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{8}{5}$

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16、设 $\{b_{n}\}$ 是公差为3的等差数列，且 $b_{n} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{21} =$ （）

A、21 B、25 C、27 D、31

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17、曲线 $f (x) = e^{x} - 3 x$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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18、某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（）

A、240种 B、360种 C、720种 D、2002种

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19、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $sin 2 x$ B、 $- sin 2 x$ C、 $sin (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $cos (2 x + \frac{π}{6})$

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20、若复数 $z$ 满足 $z - \bar{z} = \frac{m + i}{3 - i}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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月份序号 $x$	1	2	3	4	5
闯红灯人数 $y$	1040	980	860	770	700