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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形，点 $M$ 为 $P C$ 边上一点， $D M ⊥ P C$ ， $P A = A D = 2$ ．

(1)、证明：平面 $M B D ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求二面角 $M - B D - C$ 的余弦值．

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2、在正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ 且 $2 a_{3}, a_{5}, 3 a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、曲线 $y = \ln x$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线的斜率是．

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4、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，……．，设从上往下各层的球数构成数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2025}} =$ （）

A、 $\frac{2025}{2026}$ B、 $\frac{2025}{1013}$ C、 $\frac{4046}{2025}$ D、 $\frac{2023}{1012}$

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5、某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（）万元．

A、 ${1.1}^{9} a$ B、 ${1.1}^{5} a$ C、 $10 \times ({1.1}^{10} - 1) a$ D、 $11 \times ({1.1}^{10} - 1) a$

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6、函数 $y = f (x)$ 在定义域 $(- \frac{3}{2}, 3)$ 内可导，记 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ， $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $y = f (x)$ 的单调增区间为（）

A、 $(- \frac{3}{2}, - 1)$ ， $(1, 2)$ B、 $(- 1, \frac{1}{2})$ ， $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$ C、 $(- 1, - \frac{1}{3})$ ， $(\frac{4}{3}, 2)$ D、 $(- \frac{3}{2}, - 1)$ ， $(\frac{1}{2}, \frac{4}{3})$ ， $(\frac{8}{3}, 3)$

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7、如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台 $P$ ，已知射线 $A B$ ， $A C$ 为两边夹角为 $120^{\circ}$ 的公路（长度均超过3千米），在两条公路 $A B$ ， $A C$ 上分别设立游客上下点 $M$ ， $N$ ，从观景台 $P$ 到 $M$ ， $N$ 建造两条观光线路 $P M$ ， $P N$ ，测得 $A M = \sqrt{3}$ 千米， $A N = \sqrt{3}$ 千米．

(1)、求线段 $M N$ 的长度；

(2)、若 $∠ M P N = 60^{\circ}$ ，求两条观光线路 $P M$ 与 $P N$ 之和的最大值．

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8、在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ， $A D ⊥ A B$ ， $|\vec{A D}| = |\vec{C D}| = 1$ ，动点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $D C$ 和 $B C$ 上，且 $\vec{B F} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{D E} = (1 - λ) \vec{D C}$ ．

(1)、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ 的值；

(2)、求向量 ${\vec{A E}}_{} ，_{} \vec{E F}$ 的夹角；

(3)、求 $|\vec{A E} + \frac{1}{2} \vec{A F}|$ 的取值范围．

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9、为贯彻落实《健康中国行动（2023-2030年）》､《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，其中男生与女生人数之比为 $3 : 2$ ，并对他们进行了“是否喜欢体育运动”的问卷调查，得到如下统计结果：
性别
体育运动
合计
喜欢
不喜欢
男生
50
女生
15
合计

(1)、请根据要求完成 $2 \times 2$ 列联表，并根据独立性检验，判断是否有 $99 %$ 的把握认为“是否喜欢体育运动”与性别有关；

(2)、为了了解学生不喜欢体育运动的原因，从上述不喜欢体育运动的同学中随机选3位同学进行咨询，所选的3人中已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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10、记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $⟨x⟩ = x - [x]$ ，如 $[2.4] = 2, ⟨2.4⟩ = 0.4$ ，已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{3} n - 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2 [a_{n}] - 3 ⟨a_{n}⟩$ ，则 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{20} =$ （）

A、23 B、22 C、24 D、25

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11、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 (m - 1) x^{2} - 6 m x + 10 m (m \in R)$ .
（1）若 $m = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；
（2）若 $m > 0$ ，且当 $x \in [- 1, 3]$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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12、当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）的情况，如表所示.
月份
5
6
7
8
9
时间代号t
1
2
3
4
5
家乡特产收入y
3
2.4
2.2
2
1.8

(1)、根据5月至9月的数据，求y与t之间的样本相关系数（精确到0.001），并判断相关性；

(2)、求出y关于t的经验回归方程（结果中 $\hat{b}$ 保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.
附：样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i} - n \bar{t} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .一组数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n}),$ 其经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ . $\sum_{i = 1}^{5} t_{i} y_{i} = 31.4$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} = 10$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 0.848$ ， $\sqrt{8.48} \approx 2.9120$ .

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13、某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布N（μ，σ²），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1
（Ⅰ）求P（75＜X＜95）；
（Ⅱ）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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14、某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部
竞选．
（1）设所选3人中女生人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望；
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

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15、投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（ $0 < p < 1$ ）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为 $f (p)$ ，则 $f (p) =$ ；函数 $f (p)$ 取最大值时， $p =$ .

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16、已知随机变量 $X$ 服从正态分布，且 $P (X > 1) = 0.5$ ，若 $Y = 2 X - 1$ ，则 $E (Y) =$ ．

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17、已知离散型随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (8, \frac{1}{2})$ ，则 $D (X) =$ .

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18、已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ ， $(m, n \in R)$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $m = n > 0$ ，则曲线 $C$ 是圆 B、若 $m > n > 0$ ，则曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆 C、若 $m > 0 > n$ ，则曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的双曲线 D、曲线 $C$ 可能是抛物线

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19、下列说法正确的是（）

A、相关系数r越大，两变量的线性相关程度越强 B、若一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{10}$ 的方差为2，则 $x_{1} + 2$ ， $x_{2} + 2$ ， $x_{3} + 2$ ， …， $x_{10} + 2$ 的方差为2 C、若随机变量X服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X \leq 3) = 0.64$ ，则 $P (1 \leq X \leq 2) = 0.14$ D、若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{4}$ ， $P (\bar{B} |\bar{A}) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (B) = \frac{7}{24}$

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20、设随机变量X服从正态分布 $N (3, 4)$ ，则 $P (X < 1 - 3 a) = P (X > a^{2} + 7)$ 成立的一个必要不充分条件是

A、 $a = 1$ 或2 B、 $a = \pm 1$ 或2 C、 $a = 2$ D、 $a = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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性别	体育运动		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
男生	50
女生		15
合计

$α$	0.10	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828

月份	5	6	7	8	9
时间代号t	1	2	3	4	5
家乡特产收入y	3	2.4	2.2	2	1.8