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相关试卷

1、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 过 $(\sqrt{14}, \sqrt{3})$ 和 $(7, 3 \sqrt{2})$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $S$ ， $T$ 为双曲线 $C$ 上不关于坐标轴对称的两点， $M$ 为 $S T$ 中点，且 $S T$ 为圆 $G$ 的一条非直径的弦，记 $G M$ 斜率为 $k_{1}$ ， $O M$ 斜率为 $k_{2}$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值.

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2、已知在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边， $△ A B C$ 的面积为 $b^{2} \sin C$ .

(1)、求 $\frac{\sin A}{\sin B}$ 的值；

(2)、若 $c = 5$ ，证明： $\frac{10}{3} < a < 10$ .

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3、设定义域为 $(0, + \infty)$ 的单调递增函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 2 f (x - 1) + x - 2 (x \geq 2)$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $x \in N^{*}$ 时， $f (x) =$ ，若实数 $a$ ， $b$ 满足对任意符合题意的 $f (x)$ 都有 $a \leq f (\frac{2025}{7}) \leq b$ ，则 $\log_{2} (b - a)$ 的最小值为.

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4、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱锥 $A - B_{1} C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}} =$ .

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5、对称性是数学美的一个重要特征，函数的对称性是函数的重要性质.已知函数 $f (x)$ 的图像连续不断，且在定义域内有导函数 $f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的有（）

A、若函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 对称，则函数 $f^{'} (x)$ 的图像关于直线 $x = x_{0}$ 对称 B、若 $f^{'} (x)$ 单调， $x_{0}$ 在 $f (x)$ 定义域内，则函数 $f (x)$ 的图像上可能存在关于 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 对称的两点 C、若 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的极值点，则“函数 $f (x)$ 的图像上存在关于直线 $x = x_{0}$ 对称的两点”是“函数 $f^{'} (x)$ 的图像上存在关于 $(x_{0}, 0)$ 对称的两点”的充分不必要条件 D、若函数 $f (x) = x \ln x$ ，则当且仅当 $\frac{1}{e} < x_{0} < \frac{1}{2}$ 时， $y = f (x)$ 的图像上存在关于直线 $x = x_{0}$ 对称的两点.参考数据： $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$

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6、如图所示，四面体 $A B C D$ 的底面是以 $B D$ 为斜边的直角三角形， $A B C D$ 体积为 $V_{1}$ ， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = B D$ ， $P$ 为线段 $A C$ 上一动点， $O_{1}$ 为 $A D$ 中点，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $P - B O_{1} D$ 的体积和三棱锥 $P - B O_{1} A$ 的体积相等 B、当 $P O_{1} ⊥ B C$ 时， $P O_{1} ⊥ A B$ C、当 $B P ⊥ P D$ 时， $B P ⊥ D A$ D、四面体 $A B C D$ 的外接球球心为 $O_{1}$ ，且外接球体积 $V_{2}$ 与 $V_{1}$ 之比的最小值是 $4 \sqrt{2} π$

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7、已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ 为依次增大的一组数据，则去掉 $x_{1}$ 和 $x_{6}$ 后，这组数据的（）一定减小.

A、极差 B、下四分位数 C、上四分位数 D、中位数

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8、有 $m (m \geq 3)$ 个盲盒，其中有 $n (1 \leq n < m - 1)$ 个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为 $p_{1}$ ；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为 $p_{2}$ ，则对任意符合题意的 $m$ ， $n$ ，都有（）

A、 $p_{1} < p_{2}$ B、 $p_{1} = p_{2}$ C、 $p_{1} > p_{2}$ D、无法确定 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 的大小关系

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9、若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的右支上存在两点 $A$ ， $B$ 使直线 $A B$ 垂直于双曲线在点 $A$ 处的切线，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, \sqrt{2})$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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10、在外接圆半径为 $r$ 的 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $\frac{b}{\cos B} + \frac{c}{\cos C} = \frac{r}{\cos B \cos C}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，点 $A (x_{0}, 0)$ ， $B (- x_{0}, 0)$ ，且 $x_{0} > 0$ ，则“ $E$ 上存在点 $G$ 使 $A G ⊥ B G$ ”是“以 $A B$ 为直径的圆与椭圆 $E$ 存在公共点的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不必要也不充分

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12、设平面向量 $\vec{a} = (4, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不能作为平面向量的一组基底，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $2$ B、 $10$ C、 $- 6$ D、 $0$

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13、掷出两枚质地均匀的骰子，记事件 $A =$ “第一枚点数小于3”，事件 $B =$ “第二枚点数大于4”，则 $A$ 与 $B$ 关系为（）

A、互斥 B、互为对立 C、相互独立 D、相等

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14、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{2 - x}, y \in R\}$ ， $B = \{x |x > - 2, x \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $N^{*}$ D、 $N$

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15、 $\sin (x^{2} + 7)$ 的最大值是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $\frac{π}{7}$ D、 $7$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x - 1} + 1} + a x + b {(x - 1)}^{3}$ （其中 $a, b \in R$ ）．

(1)、当 $a > 0, b = 0$ 时，证明： $f (x)$ 是增函数；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形；

(3)、已知 $a \neq 0$ ，设函数 $g (x) = \frac{2^{x}}{2^{x - 1} + 1} + e^{x} - f (x) + b {(x - 1)}^{3} + (b - 1)$ ，若 $g (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求 $\frac{b - a}{a}$ 的最小值．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $y = f (2 x) - f (x), x \in [0, 1]$ 的值域；

(2)、若不等式 $f (2 x) \leq k f (x)$ 在 $x \in R$ 上恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、当 $x \in [- ln a^{2}, - ln b^{2}] (a > b > 0)$ 时，函数 $g (x) = m f (x) + 1$ 的值域为 $[2 - 3 a, 2 - 3 b]$ ，求正数 $m$ 的取值范围．

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18、某制药厂临床试验一批新药的疗效（ $α$ -因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中 $α$ -因子含量达到 $20 \sim 79 mg$ 认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中 $α$ -因子的浓度呈线性增长，当其上升到 $1.2 mg / mL$ 时，血液中 $α$ -因子的浓度将会以每小时 $20 %$ 的速度减少（函数模型如图）．

(1)、请写出服用该药后血液中 $α$ -因子浓度 $y$ （单位： $mg / mL$ ）随时间 $x$ （单位：小时）变化的关系式；

(2)、服用该药后，至少要经过几个小时血液中 $α$ -因子才能降至无效？（结果取整数）．
（参考数据： $lg 2 \approx 0.30, lg 3 \approx 0.48$ ）

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19、已知函数 $f (x) = t ln x + \frac{1}{x} + (1 - t) x (t \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在极小值 $f (x_{0})$ ，讨论 $f (x_{0})$ 与 $t - 2$ 的大小关系.

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20、定义区间 $(m, n)$ 、 $[m, n]$ 、 $(m, n]$ 、 $[m, n)$ 的长度均为 $n - m$ ，其中 $n > m$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + b x + 1 \leq 0$ 的解集区间长度为2，求 $b$ 的值；

(2)、若 $a > b > c$ 且 $a + b + c = 0$ ，求关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集区间长度范围．

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