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相关试卷

1、师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本 $30 x$ （单位：元）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{matrix} 3 x^{2} + \frac{34}{3}, 0 \leq x \leq 2, \\ \frac{32 x}{x + 1} + x, 2 < x \leq 5. \end{matrix}$ ，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?

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2、已知函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{x} - x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [- 1, 0]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值与最小值.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为单调递增等比数列， $b_{2} = 2$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3} - 1$ 成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + \log_{2} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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4、对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数x满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“局部奇函数”.若函数 $f (x) = 49^{x} - m \cdot 7^{x + 1} - 2$ 在定义域 $R$ 上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3^{|x + 2|} - 1, x < 0 \\ \ln (x^{2} + a x + 3), x \geq 0 \end{cases}$ ， $f (f (- 3)) = 0$ ，则实数a的值为.

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6、已知某扇形的圆心角为120°，弧长为 $2 πcm$ ，则此扇形的面积为 ${cm}^{2}$ .

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7、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) = - f (2 - x)$ ，当 $x \in (- 1, 0]$ 时， $f (x) = - x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (\frac{2027}{2}) = \frac{1}{2}$ C、函数 $y = f (x) - {(x - 1)}^{3}$ 的所有零点之和为5 D、 $f (e^{0.1} - 1) > f (\ln \frac{1}{1.1})$

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8、已知 $\sin (\frac{π}{3} + α) = \frac{2}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\cos (2 α - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{9}$ C、 $\cos (α + \frac{5 π}{6}) = - \frac{2}{3}$ D、若 $α \in (0, π)$ ， $\cos α = \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{5}}{6}$

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9、若 $b > a > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a < \sqrt{a b} < \frac{a + b}{2} < b$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{\log_{2} a + \log_{2} b}{2} < \log_{2} \frac{a + b}{2}$ D、 $2^{b - a} > {(b - a)}^{2}$

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10、若关于 $x$ 不等式 $\ln (a x) \leq x + b$ 恒成立，则当 $\frac{1}{e} \leq a \leq e$ 时， $e^{b + 1} - \ln a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e} + 1$ B、 $e - 1$ C、1 D、 $e$

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11、已知 $3^{m} = 4$ ， $4^{m} - a = 4$ ， $2^{m} - b = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a = b$ D、 $a = - b$

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12、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (1) = 0$ ， $f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \frac{3 e^{x} - 1}{e^{x} - 1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{e^{x} - 3}{e^{x} - 1}$ C、 $f (x) > 0$ 的解集是 $(- \infty, - \ln 3)$ D、 $\forall m \in R$ ， $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) = m$

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14、若函数 $f (x) = a \ln x + \frac{3}{x} - x$ 既有极大值也有极小值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2 \sqrt{3})$ B、 $(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ D、 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$

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15、已知角 $α$ 的终边经过点 $(\sin \frac{5 π}{6}, \cos \frac{5 π}{6})$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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16、已知 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + 3 \cos α} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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17、已知集合 $A = \{x ||2 x - 1| \leq 3\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 4 x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $[0, 2]$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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18、已知 $p$ 为正整数，集合 $S_{p} = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{p}\}$ 中， $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{p}$ 依次构成公比为 $k (k > 1)$ 的正项等比数列.
集合 $T$ 为 $S_{p}$ 的非空子集.若 $T$ 中只有一个元素或 $T$ 中任意两个元素 $a_{i}, a_{j} (1 \leq i < j \leq p)$ 都满足 $\frac{a_{j}}{a_{i}} > k^{m} (m \in N^{*})$ ，则称 $T$ 为 $S_{p}$ 的“ $m$ -分离子集”.记数列 $\{c_{n}\}$ 为 $x^{n + 1} - x^{n} - 1$ 的正零点.

(1)、写出 $S_{4}$ 的所有2-分离子集；

(2)、记 $S_{p}$ 的“1-分离子集”的数量为 $f_{1} (p)$ ，证明： $f_{1} (p) > c_{1}^{p} - 1$ ；

(3)、在 $S_{p}$ 中的所有非空子集中等概率地选取一个子集 $T$ ，证明： $T$ 为 $S_{p}$ 的“ $m$ -分离子集”的概率大于 $\frac{c_{m}^{p} - 1}{2^{p} - 1}$ .

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19、已知函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} - 2 \cos x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(π, f (π))$ 处的切线过原点，求 $a$ 的取值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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20、如图所示，正四面体 $O - A B C$ 棱长为4， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 分别在棱 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 上， $A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = 1$ .

(1)、求 $B B_{1}$ 的最小值；

(2)、求三棱锥 $O - B A_{1} C_{1}$ 体积最大时 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积.

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