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相关试卷

1、 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中常数项是．（用数字作答）

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2、如图，几何体的底面是边长为6的正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B ∥ A_{1} B_{1}, A A_{1} = A B = 3$ ， $\vec{B C} = \vec{A D} = λ \vec{A_{1} D_{1}}, λ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 0$ 时，该几何体的体积为45 B、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，该几何体为台体 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为 $9 π$ D、当点 $B_{1}$ 到直线 $D D_{1}$ 距离最大时，则 $λ = 1$

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3、已知函数 $f (x) = |x - 2| e^{x} - a$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递增 B、 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极大值点 C、 $f (x)$ 既无最大值，也无最小值 D、当 $a \in (1, 2)$ 时， $f (x)$ 有三个零点

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4、中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为 $2 : 1$ ，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（）

A、李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ B、李明获胜的概率为 $\frac{17}{30}$ C、若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 $\frac{12}{17}$ D、若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 $\frac{6}{17}$

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5、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $(0, + \infty), f (2) = - 1$ ，且 $f (x) + x f^{'} (x) = 1$ 对于 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (3) = 0$ C、 $f (4) = 0$ D、 $f (6) = 0$

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6、已知点 $P$ 在圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上运动，点 $A (- 2, 0)$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围为（）

A、 $[20, 30]$ B、 $(20, 30)$ C、 $[20, 25]$ D、 $(20, 25)$

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7、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (- x) = f (x)$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = {log}_{2} (2^{x} + 2^{- x})$ 的图象有交点，且交点个数为奇数，则 $f (0) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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8、设 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，且在第一象限，若直线 $A F$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|A F| =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9、函数 $f (x) = sin x \cdot cos x - \sqrt{3} {cos}^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的最小正周期为（）

A、4 B、2 C、 $2 π$ D、 $π$

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10、复数 $z = \frac{3 - 2 i}{1 - i}$ （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、已知集合 $A = \{x |3 x^{2} - 4 x + 1 \leq 0\}, B = \{x |0 < x < \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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12、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，若存在常数 $T$ ， $n_{0} (T, n_{0} \in N^{*})$ ，使得对任意的正整数 $n \geq n_{0}$ ，恒有 $a_{n + T} = a_{n}$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 是从第 $n_{0}$ 项起的周期为 $T$ 的周期数列．当 $n_{0} = 1$ 时，称数列 $\{a_{n}\}$ 为纯周期数列；当 $n_{0} \geq 2$ 时，称数列 $\{a_{n}\}$ 为混周期数列．记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，设各项均为正整数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, & a_{n} 为偶数 \\ \frac{a_{n} - 1}{2} + 2^{[\log_{2} a_{n}]}, & a_{n} 为奇数 \end{array}$ .

(1)、若对任意正整数 $n$ 都有 $a_{n} \neq 1$ ，请写出三个满足条件的 $a_{1}$ 的值；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是纯周期数列，请写出满足条件的 $a_{1}$ 的表达式，并说明理由；

(3)、证明：不论 $a_{1}$ 为何值，总存在 $m, n \in N^{*}$ 使得 $a_{n} = 2^{m} - 1$ ．

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13、设函数 $f (x) = \ln (x + \frac{1}{x})$ ， $x \in (0, 1)$ ．

(1)、试判断 $f^{'} (x)$ 的单调性；

(2)、证明：对任一 $x_{0} \in (0, 1)$ ，有 $f (x) \geq f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ ，当且仅当 $x = x_{0}$ 时等号成立．

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 4 \sqrt{2}$ ，点 $M (2 \sqrt{2}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 在椭圆C上，直线 $l : y = x + t$ ．

(1)、若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；

(2)、当 $t = 2$ 时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值．

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15、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = A A_{1} = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2} ， ∠ A B B_{1} = 60^{\circ}$ ，点 $D$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $A D ⊥ B C$ ；

(2)、求面 $A B C$ 与面 $A_{1} B C$ 夹角的正切值．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， b， $c$ 其中 $\vec{m} = (a, b)$ ， $\vec{n} = (\cos B, \frac{3}{4} \sin A)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = c$ ．

(1)、求 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为5，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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17、甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分 $^{2}$ ；乙班的平均成绩为90分，方差为60分 $^{2}$ ．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是分，方差是分 $^{2}$ ．

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18、已知点P在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ 上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线C的左、右焦点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为45，则 $|P F_{1}| + |P F_{2}| =$ ．

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19、直线 $y = a x - e$ 与曲线 $C : y = x \ln x$ 相切，则 $a =$ ．

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20、中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，到两定点 $F_{1} (- a, 0)$ ， $F_{2} (a, 0)$ 距离之积为常数 $a^{2}$ 的点的轨迹C是双纽线.若 $M (3, 0)$ 是曲线C上一点，则下列结论正确的是（）

A、曲线C的图象关于原点对称 B、曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C、曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D、曲线C上有且仅有3个点P满足 $|P F_{1}| = |P F_{2}|$

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