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相关试卷

1、复数 $z = - \sqrt{2} i (1 + \sqrt{2} i)$ 的虚部为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2} i$

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2、如果三个互不相同的函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ ， $y = h (x)$ 在区间 $D$ 上恒有 $f (x) \leq h (x) \leq g (x)$ 或 $g (x) \leq h (x) \leq f (x)$ ，则称 $y = h (x)$ 为 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间 $D$ 上的“分割函数”．

(1)、证明：函数 $f_{1} (x) = x$ 为函数 $y = ln (x + 1)$ 与 $y = e^{x - 1}$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上的分割函数；

(2)、若函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 为函数 $y = 2 x^{2} + 2$ 与 $y = 4 x$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的“分割函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $[m, n] \subseteq [- 2, 2]$ ，且存在实数 $k, d$ ，使得函数 $y = k x + d$ 为函数 $y = x^{4} - 4 x^{2}$ 与 $y = 4 x^{2} - 16$ 在区间 $[m, n]$ 上的“分割函数”，求 $n - m$ 的最大值．

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3、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ （ $a_{n} \neq 0$ ， $n \in N^{*}$ ），构造新数列 $\{a_{n}^{(1)}\}$ 满足 $a_{n}^{(1)} = a_{n + 1} - a_{n}$ ， $\{a_{n}^{(2)}\}$ 满足 $a_{n}^{(2)} = a_{n + 1}^{(1)} - a_{n}^{(1)}$ ， …， $\{a_{n}^{(k)}\}$ 满足 $a_{n}^{(k)} = a_{n + 1}^{(k - 1)} - a_{n}^{(k - 1)}$ （ $k \geq 2$ ， $k \in N^{*}$ ），若 $\{a_{n}^{(k)}\}$ 为常数数列，则称 $\{a_{n}\}$ 为k阶等差数列；同理令 $b_{n}^{(1)} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ， $b_{n}^{(2)} = \frac{b_{n + 1}^{(1)}}{b^{(1)}}$ ， ……， $b_{n}^{(k)} = \frac{b_{n + 1}^{(k - 1)}}{b_{n}^{(k - 1)}}$ （ $k \geq 2$ ， $k \in N^{*}$ ），若 $\{b_{n}^{(k)}\}$ 为常数数列，则称 $\{a_{n}\}$ 为k阶等比数列.

(1)、已知 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{n}^{(2)} = 2$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $k$ 阶等差数列， $\{b_{n}\}$ 为一阶等比数列，证明： $\{b_{n}^{a_{n}}\}$ 为 $k$ 阶等比数列；

(3)、已知 $d_{n} = \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 1}{4^{n}}$ ，令 $\{d_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $T_{n} = \sum_{m = 1}^{n} \sqrt{S_{m} - 1}$ ，证明： $T_{n} < 2$ .

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4、如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PM与平面AHB成角的正弦值；
(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N，使得MN∥平面ABC，若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由．

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5、已知实数 $a, b$ 满足 $a + b \geq 3$ ．

(1)、证明： $2 a^{2} + 2 b^{2} > a + b$ ；

(2)、证明： $|a - 2 b^{2}| + |b - 2 a^{2}| \geq 6$ ．

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6、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ， $O$ 为 $A C$ 中点．

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $B C$ 上， $B M = \frac{1}{2} M C$ ，且 $A B = B C$ ，求二面角 $M - P A - C$ 的大小．

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7、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P、Q分别在 $A_{1} B_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 上，且 $A_{1} P = 2 P B_{1}$ ， $C_{1} Q = 2 Q D_{1}$ ，则异面直线 $B P$ 与 $D Q$ 所成角的余弦值为

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8、已知 $O$ 为坐标原点，焦点为 $F$ 的抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 过点 $M (2, 1)$ ，过 $M$ 且与 $O M$ 垂直的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的另一交点为 $N$ ，则（）

A、 $p = 2$ B、 $|M F| = 3$ C、 $|M N| = 12 \sqrt{5}$ D、直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的准线相交于点 $(3, - 1)$

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9、对于函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递减，在 $(e, + \infty)$ 上单调递增 B、当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时， $x_{1} \cdot \ln x_{2} > x_{2} \cdot \ln x_{1}$ C、若函数 $y = f (|x|) - k (k \in R)$ 有两个零点，则 $k = e$ D、设 $g (x) = x^{2} + a (a \in R)$ ，若对 $\forall x_{1} \in R$ ， $\exists x_{2} \in (1, + \infty)$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则 $a \geq e$

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10、午饭时间；B同学从教室到食堂的路程 $S$ 与时间 $t$ 的函数关系如图，记 $t$ 时刻的瞬时速度为 $V (t)$ ，区间 $[0, t_{1}], [0, t_{2}], [t_{1}, t_{2}]$ 上的平均速度分别为 $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ ，则下列判断正确的有（）

A、 $V_{1} < V_{2} < V_{3}$ B、 $\frac{V_{1} + V_{3}}{2} < V_{2}$ C、对于 $V_{i} (i = 1, 2, 3)$ ，存在 $m_{i} \in (0, t_{2})$ ，使得 $V (m_{i}) = V_{i}$ D、整个过程小明行走的速度一直在加快

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11、设函数 $f （ x ） = x^{3} - x^{2} + 2 x$ ，则

A、函数 $f (x)$ 无极值点 B、 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点 C、 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的极大值点 D、 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的极小值点

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12、19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，若其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $a_{12}$ B、 $a_{12} - 1$ C、 $a_{12} - 2$ D、 $a_{12} - 3$

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13、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增， $f (2) = 0$ ，则 $(x - 1) \cdot f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 2, 0) \cup (1, 2)$ D、 $(- 2, + \infty)$

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14、已知点F，A分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点、右顶点， $B (0, b)$ 满足 $\vec{F B} \cdot \vec{A B} = 0$ ，则椭圆的离心率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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15、某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为

A、 $66$ B、 $54$ C、 $40$ D、 $36$

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16、已知正整数 $m$ ，设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2 m}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{2 m}$ 是 $4 m$ 个非负实数， $S = \sum_{i = 1}^{2 m} a_{i} = \sum_{i = 1}^{2 m} b_{i} > 0$ .若对于任意 $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2 m$ ，取 $a_{2 m + 1} = a_{1}$ ， $a_{2 m + 2} = a_{2}$ ， $b_{2 m + 1} = b_{1}$ ，都有 $a_{i} a_{i + 2} \geq b_{i} + b_{i + 1}$ ，则称这 $4 m$ 个数构成 $(S, m)$ —孪生数组.

(1)、写出8个不全相等的数，使得这8个数构成 $(8, 2)$ —孪生数组；

(2)、求最小的 $S$ ，使得 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{6}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{6}$ 构成 $(S, 3)$ —孪生数组；

(3)、若 $m \geq 4$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2 m}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{2 m}$ 构成 $(16, m)$ —孪生数组，求 $a_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2 m)$ 的最大值.
参考公式：（i） ${(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} \geq 3 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1})$ ，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = x_{3}$ 时取等；（ii）当正偶数 $n \geq 4$ 时，设 $n = 2 k (k \in N^{*})$ ，有 $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} x_{1} \leq (x_{1} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{2 k - 1}) (x_{2} + x_{4} + \cdot \cdot \cdot + x_{2 k})$ ；当正奇数 $n > 4$ 时，设 $n = 2 k + 1 (k \in N^{*})$ ，有 $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} x_{1} \leq (x_{1} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{2 k + 1})$ $(x_{2} + x_{4} + \cdot \cdot \cdot + x_{2 k})$ .

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17、已知点 $A (4, 4)$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在抛物线 $W$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上， $A$ ， $C$ 关于 $y$ 轴对称，直线 $A B$ ， $A D$ 关于直线 $A C$ 对称，点 $D$ 在直线 $A C$ 的上方，直线 $A D$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，直线 $A B$ 斜率小于2.

(1)、求 $△ A B E$ 面积的最大值；

(2)、记四边形 $B C D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B E$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 2$ ，求 $sin ∠ B A D$ .

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18、已知 $a$ 为实数， $n \in N^{*}$ ，设函数 $f (x) = x^{n} - a ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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19、现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为 $\frac{1}{2}$ ，若抛中的是正面，则收益 $80 %$ 的手中金额；否则亏损 $50 %$ 的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币 $100$ 次，发现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为 $100$ 元，记 $x$ 为抛硬币次数， $y$ 为经历 $x$ 次抛硬币后手中的金额.

(1)、若 $x = 2$ ，求 $y$ 的分布列；

(2)、如图，横坐标表示 $x$ ，纵坐标表示 $y$ ，在图中描出所有可能取值对应的 $(x, y)$ ，并求出当 $x = 0$ 、1、2、3时盈利的概率；

(3)、综合（1）（2）数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因（直接写结论）.

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20、.如图，底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 固定在底面 $α$ 上的盛水容器口为正方形 $A B C D$ ，侧棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 相互平行.

(1)、证明：底面四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是平行四边形；

(2)、若已知四条侧棱垂直于面 $A B C D$ ，且 $A A_{1} = D D_{1} = 4$ ， $B B_{1} = C C_{1} = A B = 2$ .现往该容器中注水，求该容器最大盛水体积 $V$ 及此时侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 与底面 $α$ 所成角 $θ$ 的余弦值（水面平行于底面 $α$ ）.

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