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相关试卷

1、已知实数x，y满足： $x + 2^{x} = 2$ ， $2 y + \log_{2} y = 1$ ，则 $x + 2 y$ 的值是（）．

A、1 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2、如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 $y = \sin 2 x$ ， $y = \sin (x + \frac{π}{6})$ ， $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 的图像如下．结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是

A、 B、 C、 D、

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3、直线 $y = k x + b$ 与函数 $y = e^{x - 1}$ 和 $y = e^{x} - 2$ 的图象都相切，则 $b =$ （）

A、2 B、 $ln 2$ C、 $1 + ln 2$ D、 $- 2 ln 2$

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4、已知角 $α$ 的终边过点 $P (- tan α, - 3)$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5、已知 $a = {log}_{0.2} 0.3, b = {log}_{2} 3, c = {log}_{3} 4$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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6、设函数 $f (x) = e^{x} - a x - 2$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线斜率为1，求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $a = 1$ ， $k$ 为整数，且当 $x > 0$ 时， $(x - k) f^{'} (x) + x + 1 > 0$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

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7、在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 $3$ 次；在 $A$ 处每投进一球得 $3$ 分，在 $B$ 处每投进一球得 $2$ 分；如果前两次得分之和超过 $3$ 分即停止投篮，否则投第三次.同学在 $A$ 处的命中率 $q_{1}$ 为 $0.25$ 0，在 $B$ 处的命中率为 $q_{2}$ ，该同学选择先在 $A$ 处投一球，以后都在 $B$ 处投，用 $ξ$ 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
$ξ$ $0$ $2$ $3$ $4$ $5$
$p$ $0.03$ $p_{1}$ $p_{2}$ $p_{3}$ $p_{4}$
（1）求 $q_{2}$ 的值；
（2）求随机变量 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ ；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.

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8、如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．

(1)、求证：AB⊥A₁C；

(2)、求二面角D﹣CA₁﹣A的余弦值；

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b sin B + c sin C - a sin A = \sqrt{3} b sin C$ ．

(1)、求 $A$ ．

(2)、若 $a = 2$ ， $\sqrt{2} b sin C = c sin 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2}$ ， $a_{2} + a_{4} = \frac{5}{4}$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}} =$ .

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11、已知椭圆的一个焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则椭圆的标准方程为．

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12、某产品的广告费用 $x$ 万元与销售额 $y$ 万元的统计数据如下表：
广告费用 $x$ （万元）
2
3
4
5
销售额 $y$ （万元）
26
$m$
49
54
根据上表可得回归方程 $\hat{y} = 9 x + 10.5$ ，则 $m$ 为.

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13、已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ)$ （其中 $- \frac{π}{2} < φ < 0$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = 2 sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 D、函数 $F (x) = f (\frac{x}{2} - \frac{π}{6}) + 2 f (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ 的最大值为 $2 \sqrt{5}$

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14、下列说法正确的有（）

A、3名女生和5名男生排成一排，女生全排在一起，有 $A_{3}^{3} \cdot A_{6}^{6}$ 种排法 B、若 $ξ ～ N (25, 4)$ ，则 $P (20 \leq ξ \leq 25) + P (ξ \geq 30) = \frac{1}{2}$ C、4名学生选2个人参加某项活动，则共有 $A_{4}^{2}$ 种选法 D、 ${(1 - x)}^{8}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为 $- 56$

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15、若 $cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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16、 $f (x)$ 是定义在R上周期为 $2$ 的奇函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则 $f (\frac{7}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $B D = 2 D C$ ．若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{A C} = \vec{b}$ ，则 $\overset{⃑}{A D} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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18、若集合 $A = {- 2, 0, 1}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2}$ B、 ${ 1}$ C、 ${- 2, 1}$ D、 ${- 2, 0, 1}$

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19、已知集合 $Ω_{n} = \{X| X = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, ..., n\}$ ，对于任意 $X \in Ω_{n}$ ，
操作一：选择 $X$ 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$ ，得到 $Y \in Ω_{n + k} (k \geq 1)$ ；
操作二：删去 $X$ 中连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$ ，得到 $Y \in Ω_{n - k} (1 \leq k \leq n - 1)$ ；
进行一次操作一或者操作二均称为一次“ $10$ 月变换”，在第 $n$ 次 $(n \in N^{*})$ “ $10$ 月变换”的结果上再进行 $1$ 次“ $10$ 月变换”称为第 $n + 1$ 次“ $10$ 月变换”．

(1)、若对 $X = (0, 1, 0)$ 进行两次“ $10$ 月变换”，依次得到 $Y \in Ω_{4}$ ， $Z \in Ω_{2}$ ．直接写出 $Y$ 和 $Z$ 的所有可能情况．

(2)、对于 $X = (0, 0, ..., 0) \in Ω_{100}$ 和 $Y = (0, 1, 0, 1, ..., 0, 1) \in Ω_{100}$ 至少要对 $X$ 进行多少次“ $10$ 月变换”才能得到 $Y$ ？说明理由．

(3)、证明：对任意 $X, Y \in Ω_{2 n}$ ，总能对 $X$ 进行不超过 $n + 1$ 次“ $10$ 月变换”得到 $Y$ ．

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20、设函数 $f (x) = e^{x} - m ln x - m x (m > 0)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数， $f^{'} (x)$ 有唯一零点 $x_{0}$ .

(1)、 $y = f^{'} (x)$ 的图像在 $(x_{0}, 0)$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，求 $\frac{g (2 x_{0})}{m}$ 的最小值及此时 $m$ 的取值；

(2)、若对任意满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 的 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 都有 $x_{1} + x_{2} > 2 x_{0}$ ，证明： $m \leq \frac{e}{2}$ .

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广告费用 $x$ （万元）	2	3	4	5
销售额 $y$ （万元）	26	$m$	49	54

$ξ$	$0$	$2$	$3$	$4$	$5$
$p$	$0.03$	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{3}$	$p_{4}$