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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{3} = 3$ ， $S_{4} = 5 a_{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + 2^{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前10项和 $T_{10}$ ．

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2、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 1$ ， $A D = A A' = 2$ ， $∠ B A D = ∠ D A A^{'} = 90 °$ ， $∠ B A A^{'} = 60 °$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A^{'}} = \vec{c}$ ．

(1)、用向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{A^{'} C}$ ；

(2)、求 $\vec{B C^{'}} \cdot \vec{A^{'} C}$ ．

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3、已知点P为圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 8$ 上一动点， $A (2, 0)$ ， $B (0, 2)$ ，则点P到直线AB的距离的取值范围是．

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4、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 2 a_{2} + 3 a_{1}$ ，且 $a_{5} = 16$ ，则 $a_{1} =$ ．

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5、若双曲线的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则该双曲线的方程可以是．（只需填写满足条件的一个方程）

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6、已知三棱锥 $P - A B C$ 如图所示，G为 $△ A B C$ 重心，点M，F为 $P G, P C$ 中点，点D，E分别在 $P A, P B$ 上， $\vec{P D} = m \vec{P A}$ ， $\vec{P E} = n \vec{P B}$ （ $m n \neq 0$ ），以下说法正确的是（）

A、若 $m = n = \frac{1}{2}$ ，则平面 $D E F$ ∥平面 $A B C$ B、 $\vec{P G} = \frac{1}{3} \vec{P A} + \frac{1}{3} \vec{P B} + \frac{1}{3} \vec{P C}$ C、 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A P} + \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ D、若M，D，E，F四点共面，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 1$

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7、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 8 x + 7 = 0$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 6 y + m = 0$ 外离，则整数m的一个取值可以是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点P在椭圆C上，直线 $P F_{1}$ 与直线 $y = \sqrt{3} x$ 交于点Q，且 $Q F_{1} ⊥ Q F_{2}$ ，则 $\tan ∠ F_{1} P F_{2} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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9、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如下图的1，3，6，10称为三角形数，1，4，9，16称为正方形数，则下列各数既是三角形数又是正方形数的是（）

A、55 B、49 C、36 D、28

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10、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} C$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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12、在空间四边形 $A B C D$ 中，点 $M, G$ 分别是 $B C$ 和 $C D$ 的中点，则 $\vec{A B} + \frac{1}{2} (\vec{B D} + \vec{B C}) =$ （）

A、 $\vec{A D}$ B、 $\vec{G A}$ C、 $\vec{A G}$ D、 $\vec{M G}$

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13、已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ ，直线 $l$ 为其中一条渐近线， $A_{1}$ 为双曲线的右顶点，过 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $l$ 于点 $B_{1}$ ，再过 $B_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线交双曲线右支于点 $A_{2}$ ，重复刚才的操作得到 $B_{2}, A_{3}, B_{3}, \dots, A_{n}, B_{n} \dots$ ，记 $A_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、过 $A_{i}$ 作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于 $M_{i}, N_{i}$ ，记 $a_{i} = \frac{1}{|M_{1} N_{1}|}, b_{i} = a_{i + 1}$ ，求证： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} + \frac{1}{2} \ln \frac{2 n + 3}{5} \leq \sum_{i = 1}^{n} b_{i} < \frac{\sqrt{2 n + 1} - 1}{2}$ ．

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14、拋物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的 $T (x_{0}, 2 \sqrt{3}) (x_{0} > 2)$ 到焦点 $F$ 的距离为4，直线 $A B$ 经过 $P (2, 0)$ 与抛物线相交于 $A 、 B$ 两点， $Q$ 是直线 $x = - 2$ 与 $x$ 轴的交点，直线 $A Q 、 B Q$ 分别交 $y$ 轴于 $M 、 N$ 两点．

(1)、求抛物线方程；

(2)、求证： $S_{△ A B Q} \cdot S_{△ M N Q}$ 为定值．

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15、已知单调递增的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, \frac{1}{a_{5}}$ 是 $\frac{1}{S_{2}}$ 与 $\frac{1}{S_{5}}$ 的等差中项， $b_{n} = 2^{″} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $M_{n}$ ．若 $n \in N^{*}, λ (M_{n} + 2^{n + 2} - 4) \geq 8 S_{n} - 26 a_{n}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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16、已知直线 $l : y = k (x + 2 \sqrt{2})$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $M, N$ 两点， $O$ 是坐标原点，且 $M 、 N 、 O$ 三点构成三角形．

(1)、用 $k$ 表示弦长 $|M N|$ ，并求 $k$ 的取值范围；

(2)、记 $△ M N O$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值及取最大值时 $k$ 的值．

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17、舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照 $[50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图，求 $x$ ；

(2)、根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；

(3)、用分层抽样的方法在 $[60, 70) ， [70, 80)$ 这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在 $[70, 80)$ 的概率．

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 b x^{2} + 3 c x$ 的图象在 $x = - 1$ 处的切线方程为 $y = 5$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 15 x - 80$ ．

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19、曲线 $C : y^{2} = 4 x (0 \leq x \leq 4)$ 上动点 $P$ 与 $M (0, 4) 、 N (t, 0) (t < 0)$ 构成 $△ P M N$ ，若 $S_{△ P M N} \geq 8$ ，则实数 $t$ 的取值范围为．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} + a_{n} = \frac{1}{n (n + 2)}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2023} =$ ．

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