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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $a_{2} = b_{2}$ ， $a_{4} = b_{3}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} - a_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前10项和．

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2、在三棱锥 $O - A B C$ 中， $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}| = 6$ ， $∠ A O B = ∠ A O C = ∠ B O C = \frac{π}{3}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上， $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $|\vec{M N}| =$ ．

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3、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ，则 $a_{2023} =$ ．

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4、已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M (p, 0)$ ，若 $|A F| = |A M|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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5、盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为．

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6、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F满足 $\vec{A_{1} F} = x \vec{A_{1} D_{1}}$ ， $\vec{A E} = y \vec{A D} + z \vec{A B}$ ，且x，y， $z \in (0, 1)$ ．记EF与 $A A_{1}$ 所成角为 $α$ ， $E F$ 与平面ABCD所成角为 $β$ ，则（）

A、若 $z = \frac{1}{3}$ ，三棱锥E-BCF的体积为定值 B、若 $x = y = z = \frac{1}{2}$ ，则 $A E ⊥ B F$ C、 $\forall x, y, z \in (0, 1)$ ， $α + β = \frac{π}{2}$ D、 $\forall x \in (0, 1)$ ，总存在 $y = z$ ，使得 $E F / /$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$

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7、设 $S_{n}$ 是公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，则数列 ${S_{n}}$ 有最大项 B、若数列 ${S_{n}}$ 有最大项，则 $d < 0$ C、若数列 ${S_{n}}$ 是递增数列，则对任意 $n \in N_{+}$ ，均有 $S_{n} > 0$ D、若对任意 $n \in N_{+}$ ，均有 $S_{n} > 0$ ，则数列 ${S_{n}}$ 是递增数列

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8、对于直线l： $m x + n y - 3 m = 0$ （ $m^{2} + n^{2} \neq 0$ ， $m, n \in R$ ），下列说法正确的是（）

A、直线l的一个方向向量为 $(n, - m)$ B、直线l恒过定点 $(3, 0)$ C、当 $m = \sqrt{3} n$ 时，直线l的倾斜角为60° D、当 $m = - 2$ 且 $n > 0$ 时，l不经过第二象限

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9、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（）

A、 $f (- 2) = f (2)$ B、 $f (0) = 0$ C、若 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上有最小值 $- 2$ ，则 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有最大值2 D、若 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，则 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减

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10、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点，椭圆上一点P满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $∠ P F_{2} F_{1} = 5 ∠ P F_{1} F$ ，则该椭圆的离心率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11、已知空间内三点 $A (1, 1, 2)$ ， $B (- 1, 2, 0)$ ， $C (0, 3, 1)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离是（）．

A、 $\sqrt{6}$ B、1 C、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 m y + 4 m^{2} + 8 = 0$ （ $m \neq 0$ ， $m \in R$ ）与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 m y + m^{2} - 4 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、外离 D、与m的取值有关

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = 3 S_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），则（）

A、 $\{S_{n}\}$ 为等比数列 B、 $\{S_{n}\}$ 为等差数列 C、 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 D、 $\{a_{n}\}$ 为等差数列

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14、双曲线 $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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15、已知向量 $\vec{a} = (k, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (k, 0, - 2)$ ，则“ $k = 2$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、在复平面上，复数 $\frac{5}{i - 2}$ （ $i$ 为虚数单位）对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知集合 $A = \{x |x = 3 n + 1, n \in Z\}$ ， $B = \{x |(x + 6) (x - 5) < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 1, 4\}$ B、 $\{- 8, - 5, - 2, 1\}$ C、 $\{- 5, - 2, 1\}$ D、 $\{- 5, - 2, 1, 4\}$

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18、已知点 $A (- \sqrt{5}, 2)$ 在双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ 上，

(1)、求C的方程；

(2)、如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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19、已知圆满足：① 截 $y$ 轴所得弦长为2；②被 $x$ 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线 $l$ ： $x - 2 y = 0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求该圆的方程．

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为1的菱形， $∠ A B C = \frac{2}{3} π$ ， $P D ⊥$ 平面ABCD， $P D = 1$ ， M为PB的中点．

(1)、求证：平面 $M A C ⊥$ 平面PDB；

(2)、求CP与平面MAC所成角的正弦值．

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