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相关试卷

1、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A$ 满足 $∁_{U} A = \{0, 2, 4\}$ ，则（）

A、 $0 \in A$ B、 $1 \in A$ C、 $2 \in A$ D、 $3 \notin A$

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2、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) x^{m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ .

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3、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 0$ ，都有 $e^{x} > x + 1$ 的否定是“ $\exists x > 0$ ，使得 $e^{x} \leq x + 1$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{a + 1}{b + 1} > \frac{a}{b}$ C、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{cases} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{cases}$ 表示同一函数 D、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[2, 3]$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[\frac{3}{2}, 2]$

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4、对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x₀ ，使得f(x₀)＝x₀ ，那么称x₀是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax²＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x₁ ， x₂ ，且x₁＜2＜x₂.
①求实数a的取值范围；
②设g(x)＝log_a[f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{\sqrt{3}}{3} b \sin C + c \cos B = a$ ．
（1）若 $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（2）若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = B B_{1} = 2 B C = 4$ ，且 $D$ 为线段 $A B$ 的中点，连接 $A_{1} D$ ， $C D$ ， $B_{1} C$ .

(1)、证明： $B C ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求平面 $B_{1} A_{1} C$ 与平面 $A_{1} C D$ 夹角的余弦值.

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7、已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + m = 0$ .

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若直线 $x - y + 1 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值.

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8、已知直线 $l$ 过点 $P (1, 3)$ ，且交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B.则当 $|P A| \cdot |P B|$ 的值最小时，直线l的方程为.

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9、经过点 $M (3, 1)$ ，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 10$ 相切的直线的方程为．

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10、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，Q为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，P为线段 $C C_{1}$ 上的动点（含端点），则下列结论正确的有（）

A、P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面的面积为 $\frac{9}{2}$ B、存在点P，使得平面 $D P Q //$ 平面 $A B_{1} C$ C、 $D P + P Q$ 的最小值为 $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ D、三棱锥 $P - C_{1} D_{1} Q$ 外接球表面积最大值为 $9 π$

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11、已知点P是圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2}$ 上一点， $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，则以下说法正确的是（）

A、若直线AB与圆C相切，则 $r = 4$ B、若以A，B为直径的圆与圆C相切，则 $r = 4$ C、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $4 \leq r \leq 6$ D、当 $r = 1$ 时， ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最小值为34

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12、已知 $a > b > 0, c < d < 0$ ，则下列不等式中错误的是（）

A、 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$ B、 $c^{2} < c d$ C、 $a - c < b - d$ D、 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ x^{2} - 2 x, x < 0 \end{matrix}$ ，若关于x的不等式 ${[f (x)]}^{2} + a f (x) < 0$ 恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）

A、2 B、3 C、5 D、8

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14、如图， $S$ 是 $△ A B C$ 所在平面外一点， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，且 $S A ⊥$ 面 $A B C$ ， $S A = 3$ ，则 $S A$ 与平面 $S B C$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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15、点 $A (2, - 4)$ 到直线 $l : m x - y - 4 m - 8 = 0$ （ $m$ 为任意实数）的距离的最大值是（）

A、5 B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $\sqrt{5}$

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16、在 $△ A B C$ 中， $M$ 是 $A C$ 边上一点，且 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，若 $\vec{B M} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $y$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $P$ 是椭圆上的一点，则三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的周长是（）

A、1 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $1 + 2 \sqrt{3}$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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18、已知集合 $A = \{x |x^{2} < 2 x\}$ ， $B = \{x |- 2 < x < 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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19、已知数列 $A : a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{t}$ （正整数 $t \geq 3$ ）的各项均为正整数，设集合 $M = \{x | x = a_{j} - a_{i}, 1 \leq i < j \leq t\}$ ，记 $M$ 中的元素个数为 $n (M)$ .

(1)、若数列 $A : 2, 5, 7, 10$ ，求集合 $M$ 及 $n (M)$ 的值；

(2)、若数列 $A$ 为等差数列，求 $n (M)$ 的值；

(3)、若数列 $A : 2, 2^{2}, \dots, 2^{t}$ ，求证： $n (M) = \frac{t (t - 1)}{2}$ .

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, A B = A C = B C = A A_{1} = 1$ ， $A_{1} B = \frac{\sqrt{6}}{2}, D$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A B$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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