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相关试卷

1、为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ，答对第二题的概率分别是 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ .

(1)、求甲考生通过某校强基招生面试的概率；

(2)、求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；

(3)、求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.

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2、一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间 $[50, 60), [60, 70), \cdot \cdot \cdot, [90, 100]$ 分成5组，得到图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?

(3)、在日销售量为 $[70, 90] kg$ 苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在 $[80, 90]$ 的概率.

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3、如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = 4, C C_{1} = 2, A B = 3$ ．侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为矩形， $C A ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}, C C_{1} ⊥$ 平面ABC.

(1)、求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离．

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4、已知 $△ A B C$ 顶点 $A (1, 2)$ 、 $B (- 3, - 1)$ 、 $C (3, - 3)$ ．

(1)、求边 $B C$ 的垂直平分线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 过点 $A$ ，且 $l_{2}$ 的纵截距是横截距的 $2$ 倍，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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5、在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $D A$ ， $B B_{1}$ 的中点， $M$ ， $N$ 分别为线段 $D_{1} A_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 上的动点（不包括端点），且 $E N ⊥ F M$ ，则线段 $M N$ 的长度的最小值为.

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6、事件 $A$ 、 $B$ 是相互独立事件，若 $P (A) = m, P (B) = 0.3$ ， $P (\bar{A} + B) = 0.7$ ，则实数 $m$ 的值等于.

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7、已知直线 $l : y = k x + 2$ 在 $x$ 轴上的截距为1，则 $k =$ .

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8、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所在棱长均为2，P为棱 $C C_{1}$ 上的动点，则下列结论中正确的是（）

A、该正三棱柱内可放入的最大球的体积为 $\frac{4 π}{3}$ B、该正三棱柱外接球的表面积为 $\frac{28 π}{3}$ C、存在点P，使得 $B P ⊥ A B_{1}$ D、点P到直线 $A_{1} B$ 的距离的最小值为 $\sqrt{3}$

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9、已知空间中三个向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 1, - 2, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 是共线向量 B、与 $\vec{a}$ 同向的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量是 $(- 1, - 2, 0)$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $90^{\circ}$

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10、过点 $P (0, - 1)$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 2, 1)$ ， $B (2 \sqrt{3}, 1)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角范围为（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{6}, \frac{3 π}{4}]$ C、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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11、如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，若 $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，点 $M$ 在 $B D_{1}$ 上，且 $B M = 3 D_{1} M$ ，则 $\vec{C M} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A A_{1}} + \frac{3}{8} \vec{A B} - \frac{5}{8} \vec{A D}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A A_{1}} + \frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{5}{8} \vec{A D}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A A_{1}} - \frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{5}{8} \vec{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A A_{1}} - \frac{3}{8} \vec{A B} + \frac{5}{8} \vec{A D}$

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12、某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为（）

A、36 B、41 C、46 D、51

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13、已知事件A，B互斥， $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ ，且 $P (A) = 2 P (B)$ ，则 $P (\bar{B}) =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{18}$ D、 $\frac{13}{18}$

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14、《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（）

A、在睡眠指数 $[60, 80)$ 的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B、早睡人群睡眠指数主要集中在 $[80, 90)$ C、早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D、晚睡人群睡眠指数主要集中在 $[60, 80)$

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15、若直线 $a x + y = 0$ 与直线 $4 x + a y + a - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、0 B、 $- 2$ C、2 D、 $- 2$ 或2

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16、已知 $z = \frac{5 i}{2 + i}$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、2i B、4i C、1 D、2

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17、直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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18、已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = x^{2} + 3 |x - a|$ ．

(1)、当 $a = 1$ ，判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性并求其最小值；

(2)、记 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式；

(3)、对（2）中的 $g (a)$ ，当 $x \in [- 1, 1]$ ，恒有 $f (x) \leq g (a) + m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19、2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产 $x (x \in N^{*})$ 百件，需另投入成本 $W (x)$ 万元，且 $0 < x < 45$ 时， $W (x) = 3 x^{2} + 260 x$ ；当 $x \geq 45$ 时， $W (x) = 501 x + \frac{4900}{x + 20} - 4950$ ，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)、分别写出 $0 \leq x < 45$ 与 $x \geq 45$ 时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；

(2)、当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？

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20、已知函数 $f (x) = \frac{a x - b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (2 t) + f (t - 1) > 0$ .

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