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相关试卷

1、已知直线l经过点 $(2, - \sqrt{3}), (3, 0)$ ，则直线l的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2、随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了 $40$ 名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了 $6$ 个区间： $(0, 10]$ 、 $(10, 20]$ 、 $(20, 30]$ 、 $(30, 40]$ 、 $(40, 50]$ 、 $(50, 60]$ ，整理得到如下频率分布直方图：

(1)、求图1中 $a$ 的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；

(2)、估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值 $\bar{x_{乙}}$ 及方差 $s_{乙}^{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为 $m$ 、 $n$ 的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为： $\bar{x}$ 、 $s_{1}^{2}$ 与 $\bar{y}$ 、 $s_{2}^{2}$ ，记总的样本平均数为 $\bar{w}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，证明：
① $\bar{w} = \frac{m}{m + n} \bar{x} + \frac{n}{m + n} \bar{y}$ ；
② $s^{2} = \frac{1}{m + n} \{m [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{w})}^{2}] + n [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{w})}^{2}]\}$ ．

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3、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记 $C M = B N = a$ $(0 < a < \sqrt{2})$ ．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

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4、 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (4, 0)$ ， $B (6, 7)$ ， $C (0, 3)$ ，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．

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5、连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：

(1)、第一次掷出的点数恰好比第二次的大3；

(2)、第一次掷出的点数比第二次的大；

(3)、2次掷出的点数均为偶数．

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6、已知 $\overset{⃑}{a} = (2, - 1, - 4), \overset{⃑}{b} = (- 1, k, 2)$ .

(1)、若 $(\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}) / / (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $(\overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b}) ⊥ (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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7、如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为 $P (A) = 0.8$ ， $P (B) = P (C) = 0.6$ ，则该电路正常工作的概率.

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8、某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取名.

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9、在空间直角坐标系 $O x y z (O$ 为坐标原点）中，点 $A (4, - 6, - 3)$ 关于 $y$ 轴的对称点为点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为.

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10、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 C、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ D、直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11、给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）

A、平均数为3 B、标准差为 $\frac{8}{5}$ C、众数为2 D、85%分位数为5

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12、已知直线 $l$ 经过定点 $C (0, - 1)$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 1, 0), B (2, 1)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、 $(- 1, 1)$

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13、已知空间向量 $\vec{a} = (3, 4, 0)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1, 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量坐标是（）

A、 $(- 3, - 4, 0)$ B、 $(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5}, 0)$ C、 $(\frac{3}{5}, - \frac{1}{5}, - \frac{4}{5})$ D、 $(3, - 1, - 4)$

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14、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 4, - 2)$ ， $\vec{c} = (1, 3, λ)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则 $λ =$ （）

A、4 B、2 C、3 D、1

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15、从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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16、对空中移动的目标连续射击两次，设 $A = {$ 两次都击中目标 $}, B = {$ 两次都没击中目标 $), C =$ {恰有一次击中目标}， $D = {$ 至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（）

A、 $A \subseteq D$ B、 $A \cup C = B \cup D$ C、 $A \cup C = D$ D、 $B \cap D = \emptyset$

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17、样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（）

A、50 B、53 C、57 D、45

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为D，若对任意 $x \in [a, b]$ （ $a < b$ ， $[a, b] \subseteq D$ ），都有 $f (x) \in [n a, n b] (n > 0)$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的一个“n倍区间”．

(1)、判断 $[1, 4]$ 是否是函数 $y = x - 1$ 的一个“ $\frac{1}{2}$ 倍区间”，并说明理由；

(2)、若 $[0, 2]$ 是函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + m$ 的“2倍区间”，求m的取值范围；

(3)、已知函数 $g (x)$ 满足对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $0 < \frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 3$ ，且 $g (0) = 0$ ，证明： $[p, q]$ （ $p < 0 < q$ ）是 $g (x)$ 的一个“3倍区间”．

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19、新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召， $2024$ 年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本 $2000$ 万元.每生产 $x$ （百辆）新能源汽车，需另投入成本 $C (x)$ 万元，且 $C (x) = \{\begin{cases} 10 x^{2} + 100 x, 0 < x < 50 \\ 501 x + \frac{8100}{x} - 5000, x \geq 50 \end{cases}$ ，由市场调研知，每百辆车售价 $500$ 万元，且生产的车辆当年能全部销售完．

(1)、求出 $2024$ 年的利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百辆）的函数关系式；（利润 $=$ 销售量 $\times$ 售价 $-$ 成本）

(2)、 $2024$ 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．

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20、已知函数 $f (x) = m x + 1 (m \neq 0), g (x) = x^{2} + 2 x + k$ .

(1)、若 $\exists x \in R$ ，使得 $g (x) \leq 0$ ，求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $\forall x \in [- 1, 2]$ ，都有 $f (x) > 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)、当 $k = 3$ 时， $\forall x_{1} \in [1, 2], \exists x_{2} \in [- 1, 2]$ ，满足 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，求 $m$ 的取值范围.

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