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相关试卷

1、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 4, A B = 2, E$ 是棱 $P D$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{8}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5 \sqrt{6}}{24}$

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2、已知方程 $\frac{x^{2}}{2 + m} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ 表示双曲线，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (- 1, + \infty)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$

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3、长轴长是短轴长的 $3$ 倍，且经过点 $P (3, 0)$ 的椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{81} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{9} + x^{2} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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4、已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则| $\overset{⃑}{O B}$ |＝（　　）

A、 $\sqrt{34}$ B、 $\sqrt{41}$ C、5 D、5 $\sqrt{2}$

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5、直线 $x + y - 12 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6、如图， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A B // C D, P Q // C D$ ， $A D = C D = D P = 2 P Q = 2 A B = 2$ ，点 $E, F, M$ 分别为 $A P, C D, B Q$ 的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面 $C P M$ ；

(2)、求平面 $Q P M$ 与平面 $C P M$ 夹角的正弦值；

(3)、若 $N$ 为线段 $C Q$ 上的点，且直线 $D N$ 与平面 $Q P M$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，求 $N$ 到平面 $C P M$ 的距离.

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7、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ，点 $E$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $\vec{C C_{1}} = 4 \vec{C E}$ ，点 $F$ 为 $B D$ 中点.

(1)、求点 $D_{1}$ 到直线 $E F$ 的距离；

(2)、求证： $A_{1} C ⊥$ 面 $B D E$ .

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8、若将任意平面向量 $\vec{E F} = (x, y)$ 绕其起点E沿逆时针方向旋转 $α$ 角，得到向量 $\vec{E K} = (x cos a - y sin α, x sin a + y cos α)$ ，则称点F绕点E逆时针方向旋转 $α$ 角得到点 $K .$ 曲线 $7 x^{2} + 7 y^{2} + 2 x y = 96$ 是由椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 在平面直角坐标系中绕原点O逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 所得的斜椭圆 $Ω .$

(1)、求椭圆C的标准方程.

(2)、已知M，N是椭圆C长轴的两个顶点，P，Q为椭圆C上异于M，N且关于y轴对称的两点.若直线MP与直线NQ交于点T，证明点T在某定曲线上，并求出该曲线的方程.

(3)、过椭圆C的上焦点作平行于x轴的直线m，交椭圆C于A，B两点，D是抛物线 $Γ : y = \frac{2}{9} x^{2}$ 上不同于点A，B的动点.若直线DA与椭圆C的另一个交点为G，直线DB与椭圆C的另一个交点为H，试问直线HG是否过定点?若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由.

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9、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是正方形， $A B = 3 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 6$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D .$

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1} .$

(2)、求直线 $D D_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

(3)、棱BC上是否存在一点P，使得二面角 $P - A D_{1} - D$ 的余弦值为 $\frac{2}{11} ?$ 若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由.

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，且过点 $(4, 1) .$

(1)、求双曲线C的方程.

(2)、过双曲线C的右焦点F作斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求 $| A B | .$

(3)、若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为 $\frac{1}{4}$ ，线段MN的中点为P，证明：点P在直线 $x - 2 y = 0$ 上.

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11、已知直线 $l : m x + y - 6 m = 0$ ，圆 $M : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9.$

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，求直线l截圆M所得的弦长；

(2)、已知直线l过定点 $P .$ 若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.

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12、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} \sin A - \cos A = 2$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值

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13、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 且斜率为2的直线与 $C$ 的一条渐近线在第四象限相交于点 $M$ ，四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 为平行四边形.若直线 $N F_{2}$ 的斜率 $k \in [- \frac{6}{7}, - \frac{2}{3}]$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围为.

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14、甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点游玩，已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ，则甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为.

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15、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| =$

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16、若 $E \notin$ 平面 $γ$ ， $F \in$ 平面 $γ$ ， $E F ⊥$ 平面 $γ$ ，则称点F为点E在平面 $γ$ 内的正投影，记为 $F = t_{γ} (E) .$ 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}$ ， $A D ⊥ A B$ ， $P, N$ 分别为 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点， $\vec{D Q} = 3 \vec{Q D_{1}}$ ， $A B = B C = A A_{1} = 6.$ 记平面 $A_{1} B C$ 为 $α$ ，平面ABCD为 $β$ ， $\vec{A H} = λ \vec{A A_{1}} (0 < λ < 1)$ ， $K_{1} = t_{β} [t_{a} (H)] . K_{2} = t_{a} [t_{β} (H)] .$ （）

A、若 $\vec{A_{1} N} = 2 \vec{A_{1} Q} - 2 \vec{A_{1} P} + μ \vec{A_{1} B}$ ，则 $μ = 1$ B、存在点H，使得 $H K_{1} / /$ 平面 $α$ C、线段 $H K_{1}$ 长度的最小值是 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ D、存在点H，使得 $H K_{1} ⊥ H K_{2}$

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17、已知函数 $f (x) = 2 \sin (4 x - \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{π}{24} + k π, \frac{5 π}{24} + k π]$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[- 2, \sqrt{3}]$ D、将 $f (x)$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) = \cos 8 x$

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18、已知直线 $l : (m + 2) x + (3 - m) y - 5 = 0$ 过定点 $P .$ 则下列结论正确的是（）

A、P的坐标为 $(1, 1)$ B、当 $m = 1$ 时，l在y轴上的截距为 $\frac{5}{2}$ C、若l与直线 $6 x + y + 3 = 0$ 垂直，则 $m = 3$ D、点P在圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = 0$ 的外部

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19、已知 $A (2 ， 0)$ ， $B (10 ， 0)$ ，若直线 $t x - 4 y + 2 = 0$ 上存在点P，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则t的取值范围为（）

A、 $[- 3 ， \frac{21}{5}]$ B、 $[- \frac{21}{5}, 3]$ C、 $(- \infty ， - \frac{21}{5}] \cup [3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 7] \cup [\frac{9}{5} ， + \infty)$

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20、刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形， $A F / /$ 平面BCDE， $△ A B E$ 和 $△ C D F$ 是全等的正三角形， $B C = 3$ ， $B E = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{26}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{52}$

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