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1、已知向量 $\vec{a} = (2, - 3, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 0, 3)$ ， $\vec{c} = (0, 0, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot (2 \vec{b} - \vec{c}) =$ （）

A、12 B、-12 C、9 D、-9

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2、经过点 $A (2, 5)$ 和 $B (- 1, m)$ 的直线的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $m =$ （）

A、3.5 B、8 C、-2 D、2

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3、如图，直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，定义：过点 $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且方向向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 的直线的点方向式方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ；过点 $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且法向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0)$ 的平面的点法向式方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，将其整理为一般式方程为 $a x + b y + c z - d = 0$ ，其中 $d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}$ ．

(1)、求经过 $A (- 1, 2, 4), B (2, 0, 1)$ 的直线的点方向式方程；

(2)、已知平面 $α_{1} : 2 x - 3 y + z - 1 = 0$ ，平面 $β_{1} : x + y - 2 z + 4 = 0$ ，平面 $γ_{1} : (m + 1) x - (2 m + 3) y + (m + 2) z - 5 = 0$ ，若 $α_{1} \cap β_{1} = l, l ⊄ γ_{1}$ ，证明： $l ∥ γ_{1}$ ；

(3)、已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所在平面 $α_{2}$ 经过三点 $P (- 4, 0, 0)$ ， $Q (- 3, - 1, 1), H (1, - 5, - 2)$ ，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所在平面 $β_{2}$ 的一般式方程为 $y + z + 4 = 0$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 所在平面 $γ_{2}$ 的一般式方程为 $2 x - m y + (2 m + 1) z + 1 = 0$ ，求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角大小．

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5、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $D D_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $C D$ ， $B C$ 的中点，则下列说法正确的有（）

A、 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 四点共面 B、 $B D$ 与 $E F$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ C、在线段 $B D$ 上存在点 $M$ ，使得 $M C_{1} ⊥$ 平面 $E F G$ D、在线段 $A_{1} B$ 上任取一点 $N$ ，三棱锥 $N - E F G$ 的体积为定值

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6、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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7、已知增函数 $f (x)$ 的定义域为正整数集， $f (x)$ 的取值也为正整数，且满足 $f (f (n)) = 2 n + 1, n \in N^{*}$ .下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 2$ B、 $f (4) = 6$ C、 $f (2025) = 2536$ D、对任意正整数 $n$ ，都有 $f (2^{n}) = 3 \cdot 2^{n - 1}$

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8、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $lg 2^{x} + lg 4^{y} = lg 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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9、正方形 $A B C D$ 的边长是2， $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{E C} \cdot \vec{E D} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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10、已知直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1, - 3, 4)$ ，平面α的一个法向量为 $\vec{n} = (a, 2, 1)$ ，若直线 $l / /$ 平面α，则 $a =$ （）

A、 $- 7$ B、 $- 3$ C、 $- 1$ D、2

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11、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\vec{B M} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $A C_{1} = 2 \sqrt{6}$ C、设 $\vec{B N} = \frac{1}{4} \vec{B B_{1}}$ ，则 $A N ⊥ B M$ D、以 $D$ 为球心， $\sqrt{7}$ 为半径的球与四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线长为 $\frac{2}{3} π$

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12、已知圆 $C$ ： $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，过点 $(0, 4)$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $P$ ，与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $\vec{C P} \cdot (\vec{C A} + \vec{C B})$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 1)$ C、 $[0, 2]$ D、 $[0, 2)$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(a + \frac{1}{2})}^{x}, x \leq 1 \\ \frac{1}{2 x}, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $a < 0$ B、 $a > - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} < a < 0$ D、 $0 \leq a < \frac{1}{2}$

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14、已知幂函数 $f (x) = (3 m^{2} - 7 m - 5) x^{m - 1}$ 是定义域上的奇函数，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ 或3 B、3 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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15、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求C的标准方程；

(2)、若 $A (- \frac{5}{2}, 0)$ ，直线l： $x = t y + \frac{3}{2} (t > 0)$ 交椭圆C于E，F两点，且 $△ A E F$ 的面积为 $\frac{\sqrt{46}}{2}$ ，求t的值.

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (2 > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，上顶点为 $B$ ，动点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，则下列描述正确的有（）

A、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为6，则 $b = \sqrt{3}$ B、若当 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $b = \sqrt{3}$ C、若存在 $P$ 点，使得 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $b \in [\sqrt{2}, 2)$ D、若 $|P B|$ 的最大值为2b，则 $b \in [\sqrt{2}, 2)$

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17、已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ .则以下命题正确的有（　　）

A、直线l恒过定点 $(3, 0)$ B、y轴被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{5}$ C、直线l与圆C恒相交 D、直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 $x + 2 y - 5 = 0$

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18、已知直线l经过点 $(2, - \sqrt{3}), (3, 0)$ ，则直线l的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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19、随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了 $40$ 名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了 $6$ 个区间： $(0, 10]$ 、 $(10, 20]$ 、 $(20, 30]$ 、 $(30, 40]$ 、 $(40, 50]$ 、 $(50, 60]$ ，整理得到如下频率分布直方图：

(1)、求图1中 $a$ 的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；

(2)、估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值 $\bar{x_{乙}}$ 及方差 $s_{乙}^{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为 $m$ 、 $n$ 的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为： $\bar{x}$ 、 $s_{1}^{2}$ 与 $\bar{y}$ 、 $s_{2}^{2}$ ，记总的样本平均数为 $\bar{w}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，证明：
① $\bar{w} = \frac{m}{m + n} \bar{x} + \frac{n}{m + n} \bar{y}$ ；
② $s^{2} = \frac{1}{m + n} \{m [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{w})}^{2}] + n [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{w})}^{2}]\}$ ．

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20、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记 $C M = B N = a$ $(0 < a < \sqrt{2})$ ．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

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