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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{1 + a \cdot 2^{x}}$ ，若 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数.

(1)、求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义加以证明.

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2、求下列式子的值：

(1)、 $\sqrt{\frac{25}{9}} - {(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}} - {(π + e)}^{0} + {(\frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $\lg 25 + 2 \lg 2 - \log_{3} 16 \cdot \log_{4} 3 + e^{\ln 3}$ ．

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3、设集合 $A = \{x ∣ - 3 \leq x \leq 4\}, B = \{x ∣ m - 1 \leq x \leq 3 m - 2\}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x |x - a|, x \leq 1 \\ 2^{x - 1}, x > 1 \end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的值为.

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5、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{3}, 2)$ ，那么关于 $x$ 的不等式 $2 x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为.

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6、函数 $f (x) = 2 \log_{a} (x - 1) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点P，则点P的坐标为

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7、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $4 a b \geq 1$ B、 $2 a^{2} + b \geq \frac{7}{8}$ C、 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{2}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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8、某食品的保鲜时间 $y$ （单位：小时）与储存温度 $x$ （单位： $^{\circ} C$ ）满足函数关系 $y = e^{k x + b} (e = 2.718 \dots, k ､ b$ 为常数 $)$ .若该食品在 $0^{\circ} C$ 的保鲜时间是 $120$ 小时，在 $20^{\circ} C$ 的保鲜时间是 $30$ 小时，则（）

A、 $k > 0$ B、储存温度越高保鲜时间越短 C、在 $10^{\circ} C$ 的保鲜时间是 $60$ 小时 D、在 $30^{\circ} C$ 的保鲜时间是 $15$ 小时

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9、下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x$ 和 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x$ 和 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ D、 $f (x) = 3 x + 2$ 和 $g (t) = 3 t + 2$

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10、设函数 $y = f (x + 1)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的偶函数， $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, 1)$ 上是减函数，且图象过原点，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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11、若 $a = 3^{\frac{1}{2}}, b = {0.4}^{2}, c = 2 {log}_{3} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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12、已知 $y = f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且当 $x \in (- \infty, 0)$ 时， $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x} - 1$ ，则当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} - \frac{1}{x} + 1$ B、 $- x^{2} + \frac{1}{x} + 1$ C、 $- x^{2} + \frac{1}{x} - 1$ D、 $x^{2} - \frac{1}{x} - 1$

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13、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} e^{x - 2}, x < 4, \\ {log}_{5} (x - 1), x \geq 4, \end{matrix}$ 则 $f (f (6))$ 等于（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{e^{2}}$ C、1 D、 $e^{4}$

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14、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(3, \frac{1}{9})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 定义域为 $R$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 是减函数 D、 $f (x)$ 是奇函数

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15、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、设集合 $A = \{x | 2 < x < 5\}, B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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17、某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当 $t \in (0, 14]$ 时，曲线是二次函数图象的一部分，当 $t \in [14, 45]$ 时，曲线是函数 $y = \log_{a} (t - 5) + 83$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．

(1)、试求 $p = f (t)$ 的函数关系式；

(2)、老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．

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18、已知函数 $f (x) = \ln (1 - x) - \ln (1 + x)$ ，记集合 $A$ 为 $f (x)$ 的定义域．

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、当 $x \in A$ 时，求函数 $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + 2 x}$ 的值域．

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19、已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x}$ ，且 $f (1) = 2$ ．

(1)、求 $a$ ；

(2)、根据定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、在区间 $(1, + \infty)$ 上，若函数 $f (x)$ 满足 $f (a + 2) > f (2 a - 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 3 (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2]$ 上是减函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in [- 1, 1]$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的最小值．

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