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相关试卷

1、曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 |y|$ 围成的图形的周长为，面积为．

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2、已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (3, - 5, 4)$ ， $O \in α$ ， $P \notin α$ ， $\vec{O P} = (0, 0, - \frac{1}{4})$ ，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离为.

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3、已知 $A (1, 0, 0)$ ， $B (2, - 1, 1)$ ，若B关于平面 $x O z$ 的对称点为C，则 $|\vec{A C}| =$ ．

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4、三棱锥 $A - B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{B D} = \vec{C D} \cdot \vec{B D} = 0$ ， $A B = 3$ ， $B D = 2$ ， $C D = 4$ ，平面 $A B D$ 与平面 $B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $A C$ 的长度可以为（）

A、5 B、 $\sqrt{17}$ C、 $\sqrt{41}$ D、6

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5、已知直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 和直线 $x + y - 3 = 0$ 的交点为 $P$ ，则过点 $P$ 且与 $A (2, 3)$ 和 $B$ $(4, - 5)$ 距离相等的直线方程为（）

A、 $4 x - y + 6 = 0$ B、 $4 x + y - 6 = 0$ C、 $3 x + 2 y + 6 = 0$ D、 $3 x + 2 y - 7 = 0$

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6、已知事件A，B满足 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.2$ ，则（）

A、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = 0.5$ B、若A与B互斥，则 $P (A + B) = 0.7$ C、若P(AB)=0.1，则A与B相互独立 D、若A与B相互独立，则 $P (A \bar{B}) = 0.9$

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7、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，其内部和表面上存在一点 $P$ 满足 $\vec{A P} \cdot \vec{B P} = \vec{A P} \cdot \vec{A_{1} P} = 0$ ，则 $∠ A B P$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ B、 $[0, \frac{π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$

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8、已知直线 $l$ 与 $m : \sqrt{3} x - y + c = 0 (c < 0)$ 平行，且 $l$ 、 $m$ 之间的距离与点 $A (0, 2)$ 到 $l$ 的距离均为 $1$ ，则 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $4$

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9、若 $P$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 9 = 0$ 上任意一点，点 $Q (1, 2)$ ，则 $|P Q|$ 的取值范围为（）

A、 $[2 + \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(0, 2 - \sqrt{2}]$ C、 $[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$ D、 $(0, 2 + \sqrt{2}]$

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10、已知点 $A (2, - 3)$ ， $B (- 3, - 2)$ ，若过点 $(1, 1)$ 的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{3}{4}] \cup [4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, 4]$ D、 $[- 4, \frac{3}{4}]$

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11、已知A， $B$ ， $C$ 三点不共线，点 $O$ 不在平面 $A B C$ 内， $\vec{O D} = \frac{1}{2} \vec{O A} + x \vec{O B} + y \vec{O C}$ （ $x$ ， $y > 0$ ），若A， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共面，则 $x y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、1 D、2

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12、某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为 $0.7$ ，第二次面试通过的概率为 $0.4$ ，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（）

A、 $0.24$ B、 $0.42$ C、 $0.82$ D、 $0.88$

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13、已知直线 $l_{1}$ ： $2 x + m y - 2025 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(m + 1) x + 3 y + 2025 = 0$ ，且 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、-2 C、2 D、3

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14、已知 $\vec{a} = (1, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 3, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、11 B、10 C、9 D、8

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15、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，有点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ .若以 $x$ 轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点 $P, Q$ 在空间中的距离为“点 $P, Q$ 关于 $x$ 轴的折叠空间距离”，记为 $d (P Q)$ .

(1)、若点 $A, B, C$ 在平面直角坐标系 $x o y$ 中的坐标分别为 $A (1, 2), B (- 2, 3), C (3, - 4)$ ，求 $d (A B), d (B C)$ 的值.

(2)、若点 $D, P$ 在平面直角坐标系 $x o y$ 中的坐标分别为 $D (0, - 1), P (x, y)$ ，试用文字描述满足 $d (D P) = \sqrt{2}$ 的点 $P$ 在平面直角坐标系 $x o y$ 中的轨迹是什么？并求该轨迹与 $x$ 轴围成的图形的面积.

(3)、若在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $E (- 1, 3)$ 是椭圆 $\frac{y^{2}}{12} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ 上一点，过点 $E$ 的两条直线 $E M$ ， $E N$ 分别交椭圆于 $M, N$ 两点，且其斜率满足 $k_{E M} + k_{E N} = 0$ ，求 $d (M N)$ 的最大值.

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，且 $C$ 的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设点 $A$ 为 $C$ 的左顶点，若过点 $(3, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $P, Q$ 两点，且直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点，记四边形 $P Q N M$ 的面积为 $S_{1}, △ A M N$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A D$ $∥$ $B C$ ， $P A = A D = C D = 2, B C = 3, \vec{P E} = \vec{E D}$ ，点 $F$ 在线段 $P C$ 上，且 $\vec{P C} = 3 \vec{P F}$ .

(1)、求二面角 $F - A E - P$ 的余弦值；

(2)、在线段 $P B$ 上是否存在一点 $G$ ，使得 $A, E, F, G$ 四点共面.若存在，求 $\frac{P G}{P B}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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18、如图，在棱长都为2的平行六面体中， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ，点 $A^{'}$ 在底面上的投影恰为 $A C$ 与 $B D$ 的交点 $O$ ；

(1)、求点 $C$ 到平面 $A^{'} A B$ 的距离；

(2)、求直线 $A C^{'}$ 与平面 $B^{'} B D$ 所成角的正弦值.

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19、已知点 $P (1, 3)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ；

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $P$ 且在坐标轴上的截距之和为0，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 的直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $∠ A C B = 120^{\circ}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，斜率为 $\frac{1}{8}$ 的直线与曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 的坐标为 $(1, 2)$ ，直线 $A P, B P$ 分别与渐近线交于 $C, D$ ，若直线 $C D$ 的斜率也为 $\frac{1}{8}$ ，则双曲线的离心率为.

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