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相关试卷

1、用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成 $45 °$ 的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为 $2π$ ，宽为 $π$ 的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．

(1)、求该直角圆形弯管的体积；

(2)、已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；

(3)、如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．

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2、若任意 $x$ 满足 $a \leq x \leq b$ （ $a < b$ ），都有不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 恒成立，则称该不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 为“ $[a, b, c]$ 不等式”

(1)、已知不等式 $m x + m \geq 0$ 为“ $[0, m, m]$ 不等式”，求m的取值范围；

(2)、判断不等式 $- x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$ 是否为“ $[- 1, 2, 2]$ 不等式”，并说明理由；

(3)、若 $- 1 \leq a < b$ ， $b > 0$ ， $c = b - a^{3}$ ，证明：不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 是“ $[a, b, c]$ 不等式”.

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3、已知定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{a x - b}{x^{2} + 1}$ ，且 $f (\frac{1}{3}) = \frac{3}{10} .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并证明你的结论；

(3)、解不等式 $f (2 t) + f (3 t - 1) < 0 .$

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4、若集合 $A = \{x ∣ - 3 \leq x \leq 3\}$ ，集合 $B = \{x |m - 5 \leq x \leq 2 m + 1\}$ .

(1)、若 $m = 0$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、当 $A \cap B = A$ 时，求实数m的取值范围.

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5、已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x > y > 0$ ，若 $z = x^{2} + \frac{16}{(x - y) y}$ ，则 $z$ 的最小值是．

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6、定义 $f (x) = ⌈x⌉$ （其中 $⌈x⌉$ 表示不小于 $x$ 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 $⌈- 1.1⌉ = - 1$ ， $⌈2.1⌉ = 3, ⌈4⌉ = 4$ .以下描述正确的是（）

A、若 $f (x) = 2023$ ，则 $x \in (2022, 2023]$ B、若 ${⌈x⌉}^{2} - 5 ⌈x⌉ + 6 \leq 0$ ，则 $x \in (1, 3]$ C、 $f (x) = ⌈x⌉$ 是 $R$ 上的奇函数 D、若 $f (x) = f (y)$ ，则 $|x - y| < 1$

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7、下列说法正确的是（）

A、“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的充分不必要条件 B、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} \times \sqrt{x - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 是同一函数 C、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 6 x - 7}$ 的单调递增区间是 $(3, + \infty)$ D、已知 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ ，则函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[- 1, 3]$

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8、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (3 - x) = f (x + 3)$ ，且当 $x_{2} > x_{1} > 3$ 时， $\frac{(f (x_{1}) - f (x_{2}))}{(x_{1} - x_{2})} > 0$ 恒成立，设 $a = f (2 x^{2} - x + 5)$ ， $b = f (\frac{5}{2})$ ， $c = f (x^{2} + 4)$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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9、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + a + 2, x \leq 1 \\ x^{2 a - 6}, x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的单调函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 3)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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10、已知正实数x，y满足 $x^{2} + 3 x y - 2 = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、下列各式正确的是（）

A、 $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ B、 $a \sqrt{- a} = \sqrt{- a^{3}}$ C、 $\sqrt{a^{6}} = a^{3}$ D、 $\sqrt{- \frac{1}{a}} = - \frac{1}{a} \sqrt{- a}$

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12、一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是（）

A、大于10g B、大于等于10g C、小于10g D、小于等于10g

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13、“ $a > b$ ”是“ $a > |b|$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = \{x |x \geq 2 或 x \leq - 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1 ， 0 ， 1 ， 2\}$ B、 $\{- 1 ， 2 ， 3\}$ C、 $\{- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3\}$ D、 ${2 ， 3}$

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, 0, 2)$ ， $\vec{b} = (- \frac{1}{2}, 1, - \frac{3}{2})$ ， $\vec{c} = (1, - 2, 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 B、 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 所成角为锐角 D、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，可作为空间向量的一组基底

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16、在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为 $S$ 的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为 $V$ 的立体，若记 $l$ 为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有 $V = S l$ .

(1)、已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；

(2)、建立空间直角坐标系 $O x y z$ ，取球心为 $P (0, 0, 1)$ ，且半径为1的球体，点 $Q (a, b, c)$ 为其表面上一点.若 $a$ 、 $b > 0$ ， $c > 1$ ，球体在点 $Q$ 处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形 $A B C$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.
提示：①球面方程： ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}$ ，其中点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 为球心坐标， $r$ 为球的半径；
②平面方程的点法式： $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ，其中平面过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，其法向量 $\vec{u} = (A, B, C)$ .

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17、 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (4, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (3, 1)$ .

(1)、求边 $A B$ 上的中线所在直线 $l_{1}$ 的方程，求边 $A B$ 上的高所在直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、（ⅰ）求 $△ A B C$ 的外接圆 $G$ （ $G$ 为圆心）的标准方程；
（ⅱ）若点 $P$ 的坐标是 $(6, 0)$ ，点 $Q$ 是圆 $G$ 上的一个动点，点 $M$ 满足 $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P Q}$ ，求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

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18、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $D_{1}$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，P在线段 $C C_{1}$ 上，且 $P C_{1} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、证明： $P B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D_{1}$ ；

(2)、求直线 $B_{1} C$ 与平面 $A_{1} B D_{1}$ 所成的角的正弦值．

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19、抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用 $(x, y)$ 表示一次试验的结果，设 $A =$ “两个点数之和等于8”， $B =$ “至少有一颗骰子的点数为5”， $C =$ “红色骰子上的点数大于4”．

(1)、判断事件A，B是否相互独立；

(2)、分别求事件 $A \cup B$ 和C的概率．

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20、（1）已知点 $A (1, 3)$ ， $B (4, 7)$ ，求线段 $A B$ 垂直平分线的斜截式方程；
（2）已知倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 经过点 $(2, 1)$ ，求 $l$ 的截距式方程.

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