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相关试卷

1、已知 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，则“ $x_{1} + x_{2} = 0$ ”是“ $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、下列关于集合运算的结论，错误的是（）

A、 $∁_{U} (A \cup B) = ∁_{U} A \cap ∁_{U} B$ B、 $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ C、 $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ D、 $A \cup (B \cap C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

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3、如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交其“伴随圆”于点 $N$ ，称点 $N$ 为点 $M$ 的“伴随点”．已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 上的点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 的一个“伴随点”为 $(\sqrt{3}, 1)$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $(- 3, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A, B$ ，点 $C$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称．
（ⅰ）证明：直线 $B C$ 恒过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的直线 $B C$ 所过的定点为 $T$ ，若 $B, C$ 在直线 $x = - 3$ 上的射影分别为 $B_{1}, C_{1}$ （ $B_{1}$ ， $C_{1}$ 为不同的两点），记 $△ T B B_{1}$ ， $△ T C C_{1}$ ， $△ T B_{1} C_{1}$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，求 $\frac{S_{1} + S_{2}}{S_{3}}$ 的取值范围．

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4、已知等腰梯形 $A B C D$ 如图 $1$ 所示，其中 $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = 45 °$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上，且 $B E ⊥ A D$ ， $A D = 3 B C$ ，现沿 $B E$ 进行翻折，使得平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，所得图形如图 $2$ 所示．

(1)、证明： $C D ⊥ A E$ ；

(2)、已知点 $F$ 在线段 $C D$ 上（含端点位置），点 $G$ 在线段 $A F$ 上（含端点位置）．
（ⅰ）若 $C F = 2 D F$ ，点 $G$ 为线段 $A F$ 的中点，求 $A C$ 与平面 $B E G$ 所成角的正弦值；
（ⅱ）探究：是否存在点 $F, G$ ，使得 $A F ⊥$ 平面 $B E G$ ，若存在，求出 $\frac{A G}{A F}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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5、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = \frac{1}{2} A A_{1} = 6$ ，点 $E, F$ 分别是线段 $A A_{1}, C C_{1}$ 上靠近 $A_{1}, C$ 的四等分点．

(1)、求点 $B_{1}$ 到平面 $D_{1} E F$ 的距离；

(2)、求平面 $D_{1} E F$ 与平面 $B_{1} A C$ 的夹角的余弦值．

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点．

(1)、若 $l$ 的方程为 $x - y - 3 = 0$ ，求 $|M N|$ ；

(2)、若 $\vec{M P} = \frac{1}{2} \vec{M N}$ ，且 $P (1, 3)$ ，求 $l$ 的斜率．

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7、已知直线 $l$ 过点 $(3, - 5)$ ．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $l^{'} : 2 x - 7 y - 1 = 0$ 垂直，求 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 y - 8 = 0$ 相切，求 $l$ 的方程．

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8、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的公共焦点， $P$ 是它们的一个公共点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，若 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}}$ 的取值范围是．

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9、已知六面体 $A B C D E$ 如图所示，其由一个三棱锥 $C - A B D$ 和一个正四面体 $A B D E$ 拼接而成，其中 $C A = C B = C D = 2$ ， $D E = 2 \sqrt{2}$ ，若 $F$ 为线段 $A C$ 的中点，则异面直线 $A D$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为．

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10、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $C_{1}, C_{2}$ 的公切线方程为．（写出一条即可）

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11、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，经过点 $F_{1}$ 且倾斜角为钝角的直线 $l$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 为 $C$ 上第二象限内一点，则（）

A、若双曲线 $E$ 与 $C$ 有相同的渐近线，且 $E$ 的焦距为8，则 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、若 $M (- 2, 2)$ ，则 $|P F_{1}| + |P M|$ 的最小值是 $2 \sqrt{5} - 2$ C、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径为1，则点 $P$ 的坐标为 $(- 2, 3)$ D、若线段 $A B$ 的中垂线过点 $F_{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为 $- \frac{\sqrt{15}}{5}$

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12、已知点 $A (1, 1)$ ，直线 $l : x - 2 y + 3 = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (1, 2)$ B、点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、圆 $C$ 上的点到点 $A$ 的距离的最大值为 $\sqrt{10} + 2 \sqrt{2}$ D、直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{2 \sqrt{165}}{5}$

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13、古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 $A, B$ 的距离之比为定值 $λ$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）的点的轨迹是一个圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点 $P$ 在边长为6的正方形 $A B C D$ 内（包含边界）运动，且满足 $|P A| = 2 |P B|$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $16 π$ B、 $4 π$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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14、若一束光线从点 $A (1, - 1)$ 处出发，经过直线 $l : y = x + 3$ 上一点 $P$ 反射后，反射光线与圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 交于点 $Q$ ，则光线从点A到点 $Q$ 经过的最短路线长为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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15、已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上，且 $M$ 在 $x$ 轴上的射影为 $F$ ，若 $2 \sqrt{3} |M F| = \sqrt{2} |O F|$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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16、已知 $t \in [0, 1]$ ，且点 $M (2 + t, 5 t - 3)$ ， $P (0, - 1)$ ，则直线 $M P$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{3 π}{4}, π)$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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17、阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 $π$ 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $6 \sqrt{2} π$ ，焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、过点 $(0, 3)$ 且倾斜角为 $150 °$ 的直线 $l$ 的方程为（）

A、 $\sqrt{3} x + y - 3 = 0$ B、 $x + \sqrt{3} y - 3 \sqrt{3} = 0$ C、 $x + \sqrt{3} y + 3 \sqrt{3} = 0$ D、 $x - \sqrt{3} y - 3 \sqrt{3} = 0$

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19、椭圆C： $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 一个焦点的坐标是（）

A、 $(2, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(4, 0)$

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20、已知命题 $p$ ：关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 \sqrt{3} x + m^{2} - 2 m = 0$ 有两个不相等的实数根；命题 $q$ ： $m \geq 2$ .

(1)、若 $p$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ ， $q$ 中一真一假，求实数 $m$ 的取值范围.

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