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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、该图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递增

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2、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : m x + y - 3 m - 1 = 0$ .则以下几个结论正确的有（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(3,1)$ B、圆 $C$ 被 $y$ 轴截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ C、点 $C$ 到直线 $l$ 的距离的最大值是 $2 \sqrt{5}$ D、直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时，直线 $l$ 的方程为 $2 x - y - 5 = 0$

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3、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 9 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 15 = 0$ ，则下列选项错误的是（）

A、两圆的圆心距离是 $2 \sqrt{2}$ B、两圆有 $2$ 条公切线 C、两圆相交 D、公共弦长 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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4、若正实数 $x, y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $x y$ 有最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 有最小值为 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、 $4 x^{2} + y^{2}$ 有最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $x (y + 1)$ 有最大值为 $\frac{1}{2}$

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ，点 $P (- 2, - 2), Q$ 是 $C$ 上一点，则 $|P Q| - |Q F|$ 的最小值为（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $4 - 2 \sqrt{2}$ C、 $2 - 4 \sqrt{2}$ D、 $2 - 2 \sqrt{2}$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} {log}_{2} x, x > 0 \\ 3^{x}, x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f [f (\frac{1}{4})]$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、2

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7、已知直线 $l_{1} : x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : (3 a - 1) x - a y - 1 = 0$ ，则“ $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ”是“ $a = \frac{1}{6}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、若复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 4 - 3 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、 $- 1$

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9、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | - 2 \leq x \leq 3\}$ ， $B = \{x | x < - 1$ 或 $x > 4\}$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 $\{x | - 2 \leq x < 4\}$ B、 $\{x | x \leq 3$ 或 $x \geq 4\}$ C、 $\{x | - 2 \leq x < - 1\}$ D、 $\{x | - 1 \leq x \leq 3\}$

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10、若函数 $f (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 4 (2^{x} + 2^{- x}) + m$ 有且只有一个零点，则实数 $m$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11、已知集合 $A = \{x |1 < 2^{x} < 8\}$ ， $B = \{x |(x + 1) (x - 2) < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- 1, 8)$

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12、定义若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a^{2} > b^{2} > 0$ ）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a^{2} > b^{2} > 0$ ）为“完美曲线”，且 $Γ$ 和 $l_{1}$ ： $x + \sqrt{6} y = 4$ ， $l_{2}$ ： $x - \sqrt{6} y = 4$ 均相切．

(1)、求 $Γ$ 的表达式和离心率

(2)、已知动点 $P$ 在 $Γ$ 的第一象限上运动， $l_{P}$ 和 $P$ 相切，和 $l_{1}$ 交于 $C$ ，和 $l_{2}$ 交于 $D$ ．设 $Γ$ 右焦点为 $F_{1}$ ，证明 $∠ C F_{1} D$ 是定值，并求其正切值．

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13、设 $f (x) = e^{x^{3} - x} - a x$

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间．

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点数量．

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14、某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表
月份
1月
2月
3月
小型汽车数量 $x$ （辆）
30
60
80
创造的收益 $y$ （元）
4800
6000
4800

(1)、根据上表数据，从下列三个函数模型中：① $y = a x + b$ ， ② $y = a x^{2} + b x + c$ ， ③ $y = a^{x} + b$ 选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量 $x$ （辆）与创造的收益 $y$ （元）之间的关系，并写出这个函数关系式；

(2)、利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？

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15、从1，2，…，2024中任取两数 $a$ ， $b$ （可以相同），则 $3^{a} + 7^{b}$ 个位为8的概率为

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16、四面体 $A B C D$ 体积为6， $A B ⊥ B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A B = B C = C D = 2 \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D$ 与 $B C$ 的夹角为

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17、二项式 ${(3 - 2 x)}^{6}$ 中展开式中 $x^{3}$ 项的系数为

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18、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B D ⊥ A C$ ， $B D = 2 A C = 4$ ，且 $\frac{A B}{A D} = \frac{C B}{C D} = 2$ ，则（）

A、当 $△ A C D$ 为等边三角形时， $A B ⊥ C D$ ， $A D ⊥ B C$ B、当 $A D ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ 时，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ C、 $△ A B D$ 的周长等于 $△ B C D$ 的周长 D、三棱锥 $A - B C D$ 体积最大为 $\frac{4 \sqrt{55}}{9}$

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19、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2 (a b + b c + c a)$ B、 $\frac{a}{1 + a}$ ， $\frac{b}{1 + b}$ ， $\frac{c}{1 + c}$ 不能构成三角形 C、若 $a^{3} + b^{3} = c^{3}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为有理数，则 $cos (A - B)$ 为有理数

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20、数列是密码设置的常用手段，几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5项构成公差为2的等差数列，第5至10项构成公差为3的等差数列，第10至15项构成公差为4的等差数列，依此类推，求满足如下条件的最小整数 $N$ ， $N > 66$ 且该数列的第 $N$ 项为2的整数幂减1，那么该款软件的激活码是（）

A、87 B、94 C、101 D、108

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月份	1月	2月	3月
小型汽车数量 $x$ （辆）	30	60	80
创造的收益 $y$ （元）	4800	6000	4800