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相关试卷

1、一组成对样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{n}, y_{n}) (n \geq 10, n \in N^{*})$ 的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ （其中 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}, \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ ），由最小二乘法求得经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ （其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ），则（）

A、若 $r > 0$ ，则 $\hat{b} > 0$ B、若 $z_{i} = y_{i} - 2 (i = 1, 2,, n)$ ，则成对数据 $(x_{i}, z_{i})$ 的样本相关系数 $r_{1}$ 等于 $r$ C、若 $z_{i} = 2 y_{i} (i = 1, 2,, n)$ ，则成对数据 $(x_{i}, z_{i})$ 的样本相关系数 $r_{2}$ 大于 $r$ D、若 $z_{i} = 2 y_{i} (i = 1, 2, n)$ ，则成对数据 $(x_{i}, z_{i})$ 的经验回归方程 $\hat{z} = 2 \hat{b} x + 2 \hat{a}$

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2、已知函数 $f (x) = sin x + \frac{3}{2} sin 2 x + 2 (x - 1)$ 在 $[- 2 π, 2 π]$ 上的所有极值点从小到大依次记为 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) =$ （）

A、 $- 32$ B、 $- 16$ C、 $- 8$ D、 $- 4$

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A F_{1}| = |A B|, |B F_{1}| = a$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x \leq 0, \\ x - \frac{a}{x}, x > 0, \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - a$ 恰有2个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(0, 4]$ D、 $(4, + \infty)$

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5、已知 $θ \in (0, \frac{π}{2}), tan 2 θ = \frac{cos θ}{\sqrt{1 + sin 2 θ}}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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6、 $(x + \frac{1}{x}) {(1 - 2 x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、24 B、 $- 24$ C、 $- 36$ D、 $- 40$

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7、声强级 $L_{I}$ （单位：dB）由公式 $L_{I} = 10 lg (\frac{I}{10^{- 12}})$ 给出，其中 $I$ 为声强（单位： $W / m^{2}$ ）.轻柔音乐的声强一般在 $10^{- 8} \sim 10^{- 6} W / m^{2}$ 之间，则轻柔音乐的声强级范围是（）

A、 $0 \sim 20 dB$ B、 $20 \sim 40 dB$ C、 $40 \sim 60 dB$ D、 $60 \sim 80 dB$

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8、已知复数 $z$ 满足 $|z - 2 i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最小值为

A、0 B、1 C、2 D、3

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9、设集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 7\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10、已知有穷等差数列 ${a_{n}} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m} (m \geq 3, m \in N^{*})$ 的公差d大于零．

(1)、证明： ${a_{n}}$ 不是等比数列；

(2)、是否存在指数函数 $y = f (x)$ 满足： $y = f (x)$ 在 $x = a_{1}$ 处的切线的交 $x$ 轴于 $(a_{2}, 0)$ ， $y = f (x)$ 在 $x = a_{2}$ 处的切线的交 $x$ 轴于 $(a_{3}, 0)$ ， …， $y = f (x)$ 在 $x = a_{m - 1}$ 处的切线的交 $x$ 轴于 $(a_{m}, 0)$ ？若存在，请写出函数 $y = f (x)$ 的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；

(3)、若数列 ${a_{n}}$ 中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列 ${b_{n}}$ ，求出所有可能的m的取值．

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11、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ， $A, B$ 分别为椭圆 $E$ 的左、右顶点， $C, D$ 分别为椭圆 $E$ 的上、下顶点，四边形 $A B C D$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 且斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $M 、 N$ 两点，直线 $A M$ 与 $B N$ 的交点为 $P$ ．
①若直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，求线段 $M N$ 的长度；
②试问 $∠ A P B$ 是否有最大值？如果有，求出 $∠ A P B$ 的最大值；如果没有，说明理由．

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，棱 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面四边形 $A B C D$ 是矩形， $P A = A D = 6$ ，点 $N$ 为棱 $P D$ 的中点，点 $E$ 在棱 $A D$ 上， $A D = 3 A E$ .

(1)、求证： $P C ⊥ A N$ ；

(2)、已知平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线 $l$ 与直线 $B E$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $N - B E - D$ 的余弦值.

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，以 $O F$ （ $O$ 为坐标原点）为直径的圆与 $C$ 的渐近线的一个交点为 $P$ ，若 $| O P | = \sqrt{2} b$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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14、某中学2025年度青年教师讲题比赛分为文科、理科两个组别进行．文科组和理科组分别有4位和5位教师参赛．根据比赛规则，要求共评出一等奖4名，一等奖中的最高分设为特等奖，其余均为二等奖，且每个组至少有1名一等奖（包含一等奖中的特等奖）．则最终的可能比赛结果共有种．

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, (x \geq 0) \\ x + 2, (x < 0) \end{array}$ ，若 $f (a) = 4$ ，则 $a =$ .

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16、已知函数 $f (x) = a^{x} - \log_{b} x (a > 0$ 且 $a \neq 1, b > 0$ 且 $b \neq 1)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、当 $a = 4$ 时，若 $f (x) < 0$ 在区间 $(0, \frac{1}{2}]$ 恒成立，则实数 $b$ 的取值范围为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ B、当 $a = b = e$ （e为自然对数的底数）时， $f (x)$ 的最小值为2 C、当 $a = b^{λ}, b = e$ （e为自然对数的底数）时，若 $f (x) \geq (1 - λ) x$ 恒成立，则实数 $λ$ 的最小值为 $\frac{1}{e}$ D、当 $a = b$ 时，若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为 $(1, e^{\frac{1}{e}})$

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17、 $△ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $2 b \cos A = a \cos C + c \cos A$ ， $b = 4$ ，边 $B C$ 的中线 $A D = \sqrt{7}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 8$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $4π$

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18、已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x + a x (a \in R)$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \sqrt{2}]$ C、 $[- \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \sqrt{2}]$

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19、球面上有三点 $A, B, C$ ，若 $A B = 6, B C = 8, A C = 10$ ，且球心到 $△ A B C$ 所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的表面积为（）

A、 $\frac{100 π}{3}$ B、 $100 π$ C、 $\frac{400 π}{3}$ D、 $400 π$

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20、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2, \vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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