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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，则（）

A、 $x = e$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 B、对 $\forall k \geq 3$ ，方程 $f (x) - k = 0$ 恒有两个不同的实数解 C、 $πln 2 > 2 lnπ$ D、存在 $k \in R$ ，使得直线 $y = k (x - 1)$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切

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2、函数 $φ (x) = x + \frac{q}{x} (q \neq 0)$ ，当 $q > 0$ 时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间 $(0, \sqrt{q})$ 和 $(- \sqrt{q}, 0)$ 上均单调递减，在区间 $(\sqrt{q}, + \infty)$ 和 $(- \infty, - \sqrt{q})$ 上均单调递增；当 $q < 0$ 时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, + \infty)$ 上均为增函数．已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，计算 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (1) - f (2) - f (3)$ 的值；

(2)、当 $a = - 1$ 时，若不等式 $k f (x) + 1 \geq f^{2} (x)$ 对 $\forall x \in [2, 3]$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、设 $h (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，是否存在正实数 $a$ ，使得对于区间 $[0, \frac{1}{2}]$ 上的任意三个实数 $m, n, p$ ，都存在以 $f (h (m)), f (h (n)), f (h (p))$ 为边长的三角形？若存在，试求出这样的 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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3、已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 5^{x} + a^{2} - 2}{5^{x} + 1}$ 是 $R$ 上的奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数，求解方程 $f (x) = \frac{1}{3}$ ；

(3)、若函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数，且关于 $x$ 的不等式 $f (x) - \frac{k \cdot 5^{2 x} - 1}{5^{x} + 1} \geq 0$ 在 $x \in [- 1, 1]$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围．

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4、近年来我市提出了“科技强市”的发展目标，全市各企业积极响应．某企业为进一步提高经济效益，着手研发新产品．现计划投入60万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，在对市场进行调研分析后发现，甲、乙产品的利润 $M 、 N$ 与研发投入 $a$ （单位：万元）满足 $M = \{\begin{array}{l} 8 \sqrt{a - 1} + 25 ， 10 \leq a \leq 37 \\ - \frac{1600}{a} + 121 ， 37 < a \leq 50 \end{array}$ ， $N = a + 10$ ．设甲产品的投入为 $x$ （单位：万元），两种产品的总利润为 $f (x)$ （单位：万元）．

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？

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5、设全集 $U = R$ ，已知集合 $P = \{x | - 2 \leq x \leq 4\}$ ，集合 $Q = \{x | 1 - m \leq x \leq 1 + m\}$ ．

(1)、若 $m = 5$ ，求 $∁_{U} P$ 、 $P \cup Q$ ；

(2)、若 $Q$ $\subseteq$ $P$ ，求出 $m$ 的取值范围．

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6、已知函数 $f (x)$ 满足对任意实数 $a ， b$ 恒有 $f (a - b) = f (a) - f (b) + 2$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2$ ， $f (2) = 3$ ，则不等式 $f (x^{2}) - f (|x|) < 3$ 的解集为．

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7、已知函数 $g (x)$ 为奇函数，幂函数 $f (x) = x^{3 m - 7} (m \in N)$ 为偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减，若 $f (1) + g (1) = - 1$ ，则 $f (- 1) + g (- 1) =$ ．

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8、求值： $lg 8 - lg 2 + lg 25 - e^{ln 2} =$ ．

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |{(\frac{1}{2})}^{x} - 4| ， x < 0 \\ x^{2} - 4 x + 3 ， x \geq 0 \end{array}$ ，若 $f (x) = a$ 有四个解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、0 $< a < 3$ B、 ${log}_{2} x_{3} + {log}_{2} x_{4} < 2$ C、 $f (x_{2}) + x_{4}$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ D、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} > 0$

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10、下列命题正确的是（）

A、已知函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x)}{\sqrt{x - 2}}$ 的定义域为 $（ 2, 3]$ B、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与函数 $g (x) = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 是同一个函数 C、若函数 $f (x) = \frac{4 - a^{2}}{x + 1}$ 在 $(- 1, + \infty)$ 单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为 $- 2 < a < 2$ D、若奇函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，且满足 $f (x + 2) + f (x) > 0$ ，则 $x$ 的取值范围为 $(- 1, + \infty)$

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11、下列命题正确的是（）

A、若 $m > p ， n > q$ ，则 $m n > p q$ B、若 $a > b > 0 ， c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ ，则 $(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 a b c$

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，若对任意的正实数 $a$ 、 $b$ ，满足 $f (a) + f (2 b - 2) = 0$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{7 a + 2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{13}{4}$ D、 $\frac{25}{4}$

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13、设 $a ， b \in R$ ，则“ $a = b \neq 0$ ”是“集合 $\{1, a - b, a\} = \{0, \frac{b}{a}, b\}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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14、若 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}, b = {(\frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}, c = ln \sqrt{e}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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15、若 $x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} = 1$ ，则 $x^{2} + x^{- 2} =$ （）

A、4 B、7 C、8 D、15

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16、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3} + {(x - 2)}^{0}$ 的定义域为（）

A、 $[2, + \infty ）$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $[2, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(2, 3) \cup (3, + \infty)$

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17、已知集合 $A = \{x |1 < x < 2\}, B = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ C、 $\{x ∣ 1 \leq x \leq 2\}$ D、 ${x ∣ - 1 < x \leq 2}$

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} \sin A + \cos A = 2$ .

(1)、求A.

(2)、已知 $a = 3$ .
（i）若 $△ A B C$ 的面积为 $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，求c；
（ii）若 $A B$ 边上一点P满足 $B P = A C$ ，点Q是 $A C$ 的中点，求 $P Q$ 的最小值.

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19、已知向量 $\vec{a} = (\cos x, \sin x)$ ， $\vec{b} = (3, \sqrt{3})$ ，且 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的数量投影的取值范围为

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20、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 $69.800$ 分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90 °$ 、 $180 °$ 、 $270 °$ 后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若 $p = 1$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $|A B| = 4$ C、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\frac{1}{2}$ D、阴影区域的面积大于4

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