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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x}$ (其中 $a, b$ 为常数)的图象经过 $(1, 2), (2, \frac{5}{2})$ 两点.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增.

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - t x + 2, t \in R$ .

(1)、当 $t = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的值域；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最小值 $h (t)$ 的表达式.

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x + 1, x < 1 \\ \log_{a} x + 2 a, x \geq 1 \end{array} (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $f (x) \leq \frac{3}{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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4、计算： ${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}} + 2 {log}_{3} 2 - {log}_{3} \frac{4}{9} - 5^{{log}_{5} 3} =$ ．

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5、函数 $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x} + 1, x > 0 \\ x, x \leq 0 \end{cases}$ ，则 $f (4) =$ ．

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6、设集合 $A = \{x ∣ 6 x^{2} - x - 1 = 0\}, B = \{x ∣ a x - 1 = 0\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 可以是（）

A、0 B、3 C、 $- 3$ D、2

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7、下面命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 B、命题“若 $x < 1$ ，则 $x^{2} < 1$ ”的否定是“存在 $x \geq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ ” C、设 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要不充分条件 D、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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8、函数 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(2, e)$ D、 $(e, 3)$

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9、函数 $f (x) = \frac{|x^{2} - 1|}{x}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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10、已知一元二次方程 $x^{2} - m x + n = 0$ 的两个实根为 $- 2$ 和3，则 $m + n =$ （）

A、7 B、 $- 4$ C、 $- 5$ D、 $- 6$

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11、设集合 $A = \{1, 3, 5\}, B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 3\}$ B、 $\{3, 5\}$ C、 $\{1, 3, 4, 5\}$ D、 $\{3, 4\}$

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12、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 3) |x|$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上单调递减，在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、若直线 $y = k^{2} - 4$ 与函数 $f (x)$ 的图象有且仅有4个交点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- m, m]$ 上的值域.

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13、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ .

(1)、求 $\sqrt{a b}$ 的最大值；

(2)、求 $a + b$ 的最大值.

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14、某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益 $f (x)$ 与投资额 $x$ 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益 $g (x)$ 与投资额 $x$ 的算术平方根成正比，其关系如图2．

(1)、分别写出两种产品的年收益 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的函数关系式；

(2)、该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？

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15、已知 $f (x) = (\frac{1}{a + 2}) x^{a + \frac{1}{2}}$ 是幂函数.

(1)、用定义法证明： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数；

(2)、若 $f (1 - m) > f (3 m - 2)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ ，且 $\forall x, y \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0, f (2) = - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (1024) = - 10$ C、函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 D、 $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{1}{2023}) + \dots + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (2) + f (3) + \dots + f (2023) + f (2024)$ $+ f (2025) = 2025$

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17、下列说法正确的是（）

A、一个真命题的否定一定是假命题 B、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，则 $B \subseteq A$ C、如果 $a b > 0$ ，那么“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 D、已知 $A, B$ 是全集 $U$ 的子集，则“ $A \cup (∁_{U} B) = U$ ”是“ $B \subseteq A$ ”的充要条件

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18、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + 3 < 0$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 4]$ 上有解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2 \sqrt{3})$ B、 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{9}{2})$ D、 $(\frac{9}{2}, + \infty)$

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19、已知函数 $f (x) = \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ，则函数 $g (x) = f (2 x) + f (1 - x)$ 的定义域为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, 2)$ D、 $(- 1, 1)$

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20、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 4, |x| \leq 2 \\ \frac{1}{1 + 2 x}, |x| > 2 \end{array}$ ，则 $f [f (1)] =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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