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相关试卷

1、函数 $f (x) = 2 ln x - x + \frac{1}{x}$

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $ln 2 < \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{2 n - 1}$ ；

(3)、若 $x_{2} > x_{1} > 0$ ， $ln x_{1} + \frac{1}{x_{1}^{2} x_{2}} = ln x_{2} + \frac{1}{x_{2}^{2} x_{1}}$ ，比较 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ 与2的大小，并说明理由.

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2、平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $F (- 2 \sqrt{3}, 0)$ ，动点 $P$ 满足以 $P F$ 为直径的圆与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 内切，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、 $M$ 是曲线 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的任意一点，过 $M$ 斜率存在的直线交曲线 $E$ 于两不同点A、B，射线 $M O$ 交曲线 $E$ 于 $Q$ 点.
（ⅰ）证明： $\frac{|M O|}{|O Q|}$ 为定值；
（ⅱ）求 $△ A B Q$ 面积的取值范围.

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3、如图四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，侧面 $P C D$ 是边长为2的正三角形，且侧面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， M为 $P B$ 的中点.

(1)、求 $P A$ 与底面 $A B C D$ 所成的角的大小；

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $C D M$ ；

(3)、求平面 $P B C$ 和平面 $M D C$ 的夹角的余弦值.

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边长 $a, b, c$ 组成公差为1的等差数列.

(1)、若 $4 sin B = 5 sin A$ ，求 $△ A B C$ 的周长和面积；

(2)、 $△ A B C$ 为锐角三角形，求整数 $a$ 的最小值.

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5、2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）：

航天爱好者
非航天爱好者
合计
女
40
60
100
男
70
30
100
合计
110
90
200

(1)、能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？

(2)、现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ，
$P (X^{2} \geq K)$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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6、函数 $f (x) = |3 x - 1| - 3 l n x$ 的最小值为．

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7、要安排4名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有种.

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8、直线 $x + 2 y - 5 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 截得的弦长为.

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9、斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过抛物线 $C : x^{2} = a y (a > 0)$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线 $C$ 交于M、N两点， $Q$ 为抛物线 $C$ 的准线 $y = - 1$ 上任意一点.则（）

A、 $a = 2$ B、以 $M N$ 为直径的圆与直线 $y = - 1$ 相切 C、 $△ M N Q$ 为等边三角形，则 $k^{2} = 2$ D、 $Q N$ 为抛物线 $C$ 的切线，则 $\vec{M N} \cdot \vec{Q F} = 0$

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10、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 8$ ， $D$ 、 $E$ 分别在AB，AC上，且 $4 \vec{D E} = 3 \vec{B C}$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折得到图2，其中 $A C ⊥ C E$ .记三棱锥 $A - B C D$ 外接球球心为 $O_{1}$ ，球 $O_{1}$ 表面积为 $S_{1}$ ，三棱锥 $A - E C D$ 外接球球心为 $O_{2}$ ，球 $O_{2}$ 表面积为 $S_{2}$ ，则在图2中，下列说法正确的有（）

A、 $B D ⊥ A D$ B、直线 $A B$ 与 $D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $O_{1} O_{2} / /$ 平面 $B C D E$ D、 $S_{1} + S_{2} = 78 π$

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11、函数 $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - b)$ ，若 $f (x)$ 在 $(b, b + 3)$ 有最大值，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, 5)$ B、 $(- 4, \frac{11}{4}]$ C、 $(- 4, \frac{11}{4})$ D、 $(- 4, 5]$

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12、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减 D、当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 时， $f (x) \in [1, 2]$

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13、已知 $sin (x - y) = cos (x + y)$ ， $tan (x - y) = 3$ ，则 $tan x tan y =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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14、命题 $p$ ：数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，命题 $q$ ：数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \neq 0$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} a_{n + 4} = a_{n + 1} a_{n + 3}$ ，则 $q$ 是 $p$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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16、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上的中点，则 $\vec{C A} =$ （）

A、 $2 \vec{C D} - \vec{C B}$ B、 $\vec{C D} - 2 \vec{C B}$ C、 $2 \vec{C D} + \vec{C B}$ D、 $\vec{C D} + 2 \vec{C B}$

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17、已知集合 $A = \{x |y = ln (1 - 2 x)\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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18、已知 $\frac{z}{i} = - 1 + 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、3 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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19、空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如在1秒末，粒子会等可能地出现在 $(1, 0)$ ， $(- 1, 0)$ ， $(0, 1)$ ， $(0, - 1)$ 四点处.

(1)、求粒子在第2秒末移动到点 $(1, - 1)$ 的概率；

(2)、记第 $n$ 秒末粒子回到原点的概率为 $p_{n}$ .
（i）已知 $\sum_{k = 0}^{n} (C_{n}^{k})^{2} = C_{2 n}^{n}$ 求 $p_{3}, p_{4}$ 以及 $p_{2 n}$ ；
（ii）令 $b_{n} = p_{2 n}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若对任意实数 $M > 0$ ，存在 $n \in N *$ ，使得 $S_{n} > M$ ，则称粒子是常返的.已知 $\sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} < n! < {(\frac{6}{π})}^{\frac{1}{4}} \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} ，$ 证明：该粒子是常返的.

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20、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且 $a b = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、已知B，A是椭圆 $C$ 的左、右顶点，不与 $x$ 轴平行或重合的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于M，N两点，记直线 $B M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{2} = 2 k_{1}$ ，证明：直线 $l$ 过定点；

(3)、如图，点 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 上不同于A，B的任一点，在抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上存在两点R，Q，使得四边形 $P Q A R$ 为平行四边形，求 $p$ 的最小值.

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	航天爱好者	非航天爱好者	合计
女	40	60	100
男	70	30	100
合计	110	90	200

$P (X^{2} \geq K)$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828