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相关试卷

1、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} = \frac{1}{a_{n}}, a_{1} = 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = ln a_{2 n - 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，并求其通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = ln a_{n}, S_{n}$ 是数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，对 $\forall n \in N^{*}, S_{2 n} < k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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2、正四面体 $P - A B C$ 的三条棱 $P A, P B, P C$ 是圆锥 $P O$ 的三条母线，点 $A, B, C$ 在圆锥 $P O$ 的底面内，过 $P A$ 且与圆锥 $P O$ 底面垂直的平面与圆锥侧面交于 $P D$ （不同于 $P A$ ）.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P B D$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值.

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3、为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.

(1)、依据频率分布直方图，完成以下 $2 \times 2$ 列联表：

成绩不低于总体均分
成绩低于总体均分
合计
每天整理错题

未每天整理错题

合计

(2)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关.
附 $: X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.10
0.01
0.001
$χ_{α}$
2.706
6.635
10.828

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4、如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的 $\frac{1}{4}$ 圆周，内弧半径为 $12$ 米，路宽为 $3$ 米，两人均从外弧 $A$ 点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点 $C$ ，又沿内弧 $C B$ 跑至点 $B$ 处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上 $D$ 点处，再沿外弧 $D E$ 跑至点 $E$ 处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是（填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值约为米.（结果精确到 $0.1$ 米，参考数据： $\sin 37^{\circ} \approx 0.6$ ， $π \approx 3$ ）

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 20$ ， $S_{7} = 56$ ，则数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ .

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6、用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是.

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7、若自变量 $x$ 表示时间，在长为定值 $T$ 的时间周期 $[u, u + T]$ 中，函数 $y = f (x)$ 的增长率为 $g (u) = \frac{f (u + T) - f (u)}{f (u)}$ ，以下判断正确的是（）

A、若 $f (x) = 3 x, x \in (0, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为减函数 B、若 $f (x) = 3^{x}, x \in (0, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为增函数 C、若 $f (x) = 3 x^{2}, x \in (0, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为增函数 D、若 $f (x) = ln x, x \in (1, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为减函数

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8、函数 $f (x) = 2 cos x + sin 2 x (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、 $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}]$ C、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 $x = \frac{π}{6}$ D、 $f (x)$ 的零点是 $\frac{π}{2} + k π, k \in Z$

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9、已知双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，则（）

A、双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、双曲线的离心率是 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、双曲线的虚轴长是8 D、双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6

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10、已知 $A$ 是抛物线 $y^{2} = 16 x$ 上一点， $F$ 为抛物线的焦点，直线 $\frac{x}{4} + \frac{y}{b} = 1$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ， $\vec{P F} \cdot \vec{P A} = 0$ ，点 $B$ 为线段 $A F$ 的中点，则 $\cos ∠ A P B =$ （）

A、 $\sqrt{\frac{b^{2}}{4 + b^{2}}}$ B、 $\sqrt{\frac{b^{2}}{16 + b^{2}}}$ C、 $\sqrt{\frac{16}{16 + b^{2}}}$ D、 $\frac{b}{4 + b}$

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11、已知梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $/ /$ $C D, A B = 2 B C = 2 C D = 2 A D = 4$ ，点 $M$ 为边 $C D$ 上的动点，若 $∠ A M B = α$ ，则 $cos α$ 的范围是（）

A、 $[0, \frac{1}{7}]$ B、 $[- \frac{1}{7}, 1]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{1}{7}]$ D、 $[- \frac{1}{7}, 0]$

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12、从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（）

A、84 B、120 C、504 D、720

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13、高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体均分为（）

A、81.8 B、81.5 C、81.1 D、80.8

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14、某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为 $W_{0}$ （单位： $\frac{mg}{L}$ ），测得污水通过长度为 $l$ （单位： $m$ ）的净化装置后污染物的含量 $W$ 如下表：
$l$
0
1
2
3
$W$
$W_{0}$
$0.5 W_{0}$
$0.25 W_{0}$
$0.125 W_{0}$
研究小组的同学根据表格数据建立了 $W$ 关于 $l$ 的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（）

A、 $W = W_{0} + 0.5 l$ B、 $W = W_{0} \cdot {log}_{0.5} (l + 1)$ C、 $W = 0.5 W_{0} l$ D、 $W = W_{0} \cdot {(0.5)}^{l}$

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15、设集合 $A = \{x | y = \sqrt[3]{1 - x}\}, B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $R$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $(- 1, 2]$

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16、若复数 $- 1 + (1 - a^{2}) i$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > - 1$ B、 $a < - 1$ 或 $a > 1$ C、 $- 1 < a < 1$ D、 $a < 1$

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17、已知四边形 $M B E A$ 为矩形，四边形 $A E C D$ 为直角梯形， $A E ⊥ A D, A D$ $∥$ $E C, M A = A D = 3, E C = 6$ ，二面角 $B - A E - C$ 的大小为 $θ$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}, P$ 为 $C D$ 的中点．
①求点 $P$ 到平面 $M B E A$ 的距离；
②若 $A E = 3$ ，求平面 $B E P$ 与平面 $B A D$ 夹角的余弦值．

(2)、若 $θ = \frac{π}{2}, A E = 3$ ，点 $N$ 为线段 $E C$ 的中点，将 $△ D C N$ 沿 $D N$ 折起，使得 $△ D C N$ 与四边形 $M B E A$ 在平面 $A E N D$ 的同侧，且平面 $D C N$ $∥$ 平面 $M B E A$ ，点 $F$ 为四面体 $M E C D$ 的内切球球面上的一动点，求 $F D + \frac{1}{3} F C$ 的最小值．

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18、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $(- \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $G$ 的标准方程．

(2)、若 $A, B$ 分别为椭圆 $G$ 的上､下顶点，直线 $l$ 与椭圆 $G$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $A C ⊥ A D$ ．
①证明：直线 $l$ 过定点．
②过点 $B$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $E$ ，求 $△ A B E$ 面积的最大值．

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{4} + a_{8} = 6, S_{17} = \frac{153}{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

(2)、设数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．
①求 $T_{n}$ ；
②是否存在实数 $t$ ，使得数列 $\{t T_{n} + \frac{n^{2} + 1}{n + 1}\}$ 为等差数列？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x + 2, a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq e^{x}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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	成绩不低于总体均分	成绩低于总体均分	合计
每天整理错题
未每天整理错题
合计

$α$	0.10	0.01	0.001
$χ_{α}$	2.706	6.635	10.828

$l$	0	1	2	3
$W$	$W_{0}$	$0.5 W_{0}$	$0.25 W_{0}$	$0.125 W_{0}$