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相关试卷

1、若集合 $A = \{m^{2} | |m| = 1, m \in C\}$ ， $B = \{a + b i | a b = 0\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - a (\ln x + 1)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在 $x \in [1, e]$ ，使得 $\frac{f (x) + a}{x} + a \leq 2$ ，求实数 $a$ 的最大值.

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3、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ （其中 $e = 2.71828 \dots$ ）.

(1)、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (x^{2} - a x + 9) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [0, 1]$ ， $\exists x_{2} \in [m, + \infty)$ ，使 $e^{- |x_{1} - m|} \geq f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 2 x$ $(a \in R)$
（1）当 $a = 1$ 时，求 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；
（2）若函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) ， g (x)$ 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x} - x^{3}$ ，若函数 $h (x) = 3^{|x - 2024|} - λ f (x - 2024) - 2 λ^{2}$ 有唯一零点，则实数 $λ$ 的值为

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6、随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（ $10 \leq m \leq 20$ ， $m \in N^{*}$ ）

支持
不支持
男生
$70 - m$
$10 + m$
女生
$50 + m$
$30 - m$
若通过计算得，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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7、方程 $\log_{2} (9 - 2^{x}) = 3 - x$ 的解为 $x =$ .

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8、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} - a b + b = 0 (a > 1)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $b \geq 4$ B、 $2 a + b \geq 8$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$ D、 $a b \geq \frac{27}{4}$

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9、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x^{2} f^{'} (x) + 1 > 0$ ， $f (2) = \frac{5}{2}$ ，则关于x的不等式 $f (\ln x) < \frac{1}{\ln x} + 2$ 的解集为（）

A、 $(e^{2}, + \infty)$ B、 $(0, e^{2})$ C、 $(- \infty, e^{2})$ D、 $(1, e^{2})$

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10、把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是 $θ_{1}^{\circ} C$ ，空气的温度是 $θ_{0}^{\circ} C$ ，则 $t min$ 后该物体的温度 $θ^{\circ} C$ 可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- \frac{t}{4}}$ 求得．若将温度分别为 $100^{\circ} C$ 和 $60^{\circ} C$ 的两块物体放入温度是 $20^{\circ} C$ 的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过 $10^{\circ} C$ ，至少要经过（）（取： $ln 2 = 0.69$ ）

A、 $2.76 min$ B、 $4.14 min$ C、 $5.52 min$ D、 $6.9 min$

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11、如图中，图象对应的函数解析式为（）

A、 $f (x) = \frac{e^{|x|} cos 2 x}{x^{2} + 1}$ B、 $f (x) = \frac{e^{|x|} sin 2 x}{|x|}$ C、 $f (x) = \frac{sin 2 x}{x^{2} + 1}$ D、 $f (x) = \frac{e^{|x|} sin 2 x}{x^{2} + 1}$

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = - t, \\ y = \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = a + cos α, \\ y = sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的两不同交点 $A, B$ 满足 $\vec{O A} = 2 \vec{O B}$ ，求 $a$ 的值．

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13、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点 $M (2, 1)$ 到焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $N (4, 0)$ 的直线交 $E$ 于 $A, B$ 两点，直线 $A M, B M$ 分别交直线 $x = 4$ 于 $P, Q$ 两点，求证： $|P N| = |Q N|$ ．

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14、已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，满足 $A D ∥ B C, A D ⊥ D C$ ，若 $P A = A D = D C = 2, B C = 3$ ，点 $M$ 为 $P D$ 的中点，点 $N$ 为 $P C$ 的三等分点（靠近点 $P$ ）．

(1)、求证： $P C ⊥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、若线段 $P B$ 上的点 $Q$ 在平面 $A M N$ 内，求 $\frac{P Q}{P B}$ 的值．

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15、地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y（单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数 $lg y$ 与时间 $x$ （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为： $lg y = 0.89 x + 8.64$ ，相关指数 $R^{2} = 0.97$ ）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（）

A、根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取 $y$ 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型 $y = \hat{b} \times 10^{\hat{a} x} + k$ 来拟合 B、根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的 $10^{0.89} \approx 7.76$ 倍 C、虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程 D、根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为 $10^{8.64}$ ，可以推断地球生命可能并非诞生于地球

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 一共有 $m^{2} (m > 2)$ 项， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 成公差不为 $0$ 的等差数列，对任意的 $i \in \{1, 2, \dots, m\}, a_{i}, a_{i + m}, \dots, a_{i + (m - 2) m}, a_{i + (m - 1) m}$ 成等差数列，且对于不同的 $i$ ，其公差为同一个非零常数．

(1)、若 $m = 3, a_{1} = 1, a_{4} = 3, a_{9} = 9$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的各项之和；

(2)、证明： $a_{1}, a_{(m + 1) + 1}, a_{2 (m + 1) + 1}, \dots, a_{(m - 1) (m + 1) + 1}$ 成等差数列；

(3)、从 $1, 2, \dots, m^{2}$ 中任取三个数 $p, q, r (p < q < r)$ ，记 $p, q, r$ 成等差数列且 $a_{p}, a_{q}, a_{r}$ 也成等差数列的概率为 $P_{m}$ ，证明： $P_{m} > \frac{3 m - 6}{4 m^{3} - 8 m}$ ．

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17、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P M ⊥$ 底面 $A B C, A B ⊥ A C, A B = 1, A C = \sqrt{2}, M, N$ 分别为 $B C, A C$ 的中点， $E$ 为线段 $P A$ 上一点，平面 $E B N ⊥$ 底面 $A B C$ ．

(1)、若 $P M = 1$ ，求二面角 $A - E N - B$ 的余弦值；

(2)、求 $\frac{P E}{A E}$ ．

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18、已知抛物线 $C : y^{2} = m x (m > 0)$ 的焦点为 $F$ ，以 $F$ 和 $C$ 的准线上的两点为顶点可以构成边长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的等边三角形．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、讨论过点 $(- 2, 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点个数．

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19、已知函数 $f (x) = e^{x - a} - \frac{ln x}{x} - 1$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq 0$ ．

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20、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{1}{sin C} = \frac{2 cos B}{2 sin A + sin B}$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = b = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径．

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	支持	不支持
男生	$70 - m$	$10 + m$
女生	$50 + m$	$30 - m$

$α$	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	3.841	6.635	7.879	10.828