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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若A，B，C是直线 $y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x)$ 图象的从左至右相邻的三个交点，且 $|A B| = \frac{1}{3} |B C|$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M, N$ 为 $C$ 上的不同两点，若线段 $M N$ 的中点到 $y$ 轴的距离为2，则 $|M F| \cdot |N F|$ 的最大值为（）

A、3 B、6 C、9 D、36

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3、已知奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且满足 $g (x) = f (x) + e^{- x}$ ，则 ${[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $f (2 x)$ D、 $g (2 x)$

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4、设 $\tan α, \tan β$ 是方程 $x^{2} + p x + p - 1 = 0 (p > 1)$ 的两根，则 $\frac{\sin (α + β)}{\sin α \sin β} =$ （）

A、p B、 $- p$ C、 $\frac{p}{p - 1}$ D、 $\frac{p}{1 - p}$

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5、某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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6、已知 $(1 + i) z = 1 + i^{3}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、0 D、 $- 2$

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7、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线， $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、6 D、 $- \frac{2}{3}$

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8、已知 $A$ 、 $B$ 是单位圆上相异的两个定点（ $O$ 为此单位圆圆心），点 $C$ 是单位圆上的动点且 $\vec{O C} = cos α \vec{O A} + sin α \vec{O B} (α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}))$ .直线 $A C$ 交直线 $O B$ 于点 $M$ .

(1)、若 $α = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；

(2)、设 $\vec{O M} = t \vec{O B}$ ， $\vec{A M} = λ \vec{A C}$
①用 $α$ 表示 $t$ ；
②求 $\frac{S_{△ C O M}}{S_{△ B M A}}$ 的取值范围.

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9、我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为线段 $P B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的动点.

(1)、求证：直线 $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $P - D C - B$ 的大小；

(3)、若直线 $P C / /$ 平面 $A E F$ ，求直线 $A B$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = C C_{1} = 2$ ， $∠ A C B = 120^{\circ}$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $A C_{1}$ ∥平面 $B_{1} C E$ ；

(2)、求三棱锥 $B - B_{1} C E$ 的体积.

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11、如图所示，已知圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面 $A B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，球 $O$ 在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 内，且与圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的上、下底面均相切．则球 $O$ 的表面积为；若 $P$ 为圆柱下底面圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点，则平面 $P A B$ 截球 $O$ 所得截面的周长为．

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12、已知复数 $z$ 满足 $1 \leq |z| \leq 3$ ，则在复平面内复数 $z$ 对应的点 $Z$ 的集合构成区域的面积为.

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13、《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，现有 $△ A B C$ 满足 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，请运用上述公式判断下列命题正确的是（）

A、 $C = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ C、 $△ A B C$ 外接圆直径为 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ D、 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的中线 $C D$ 的长为 $3 \sqrt{2}$

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14、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中 $A = 120^{°}$ ， $b = 1$ ，且 $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{39}}{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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15、圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $5 π$

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16、如图所示， $▱ O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形 $O A B C$ 的直观图．其中 $O^{'} A^{'} = 5$ ， $O^{'} C^{'} = 2$ ，则四边形 $O A B C$ 的面积是（）

A、 $20 \sqrt{2}$ B、20 C、 $10 \sqrt{2}$ D、10

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17、设 $\vec{e_{2}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $- 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ D、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $4 \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}$

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18、已知函数 $f (x) = |x - \frac{2}{x} + 1| + m$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 有4个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ），求 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 与 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ ；

(2)、是否存在非零实数 $m$ 和闭区间 $[a, b] (0 < a < b)$ ，使得函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[\frac{m}{a}, \frac{m}{b}]$ ？若存在，求出 $m$ 的取值范围.若不存在，请说明理由.

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19、嘟嘟玩一个游戏：一开始她准备了 $2$ 个罐子 $A$ ， $B$ ，每个罐子里都放着红、黄、蓝三种颜色的球各一个.然后她在游戏的每一轮同时从两个罐子里随机地取出一个球交换位置，并观察经过该轮交换后两个罐子里球的颜色.

(1)、求经过 $2$ 轮交换后 $A$ 罐子里红球有 $2$ 个的概率；

(2)、经过 $n$ 轮交换后 $(n \in N^{*})$ ：
①求两个罐子里仍然是红、黄、蓝三种颜色的球各一个的概率 $p_{n}$ ；
②请直接写出 $A$ 罐子里有 $2$ 个黄球 $1$ 个蓝球的概率 $q_{n}$ .

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20、已知 $a$ ， $b$ ， $c \in N^{*}$ ， $f (x) = {(1 + x)}^{a} + {(1 + x)}^{b} + {(1 + x)}^{c}$ .

(1)、若 $a = b = 4$ ， $c = 5$ ，求 $f (x)$ 的展开式（合并同类项之后）中系数最大的项；

(2)、若 $f (x)$ 的展开式（合并同类项之后）中 $x$ 的系数为25，那么.
①满足条件的 $f (x)$ 有多少种可能？
②求展开式中 $x^{2}$ 的系数的最大可能值与最小可能值之和.

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