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相关试卷

1、下表是某服装销售公司2021年度各类服装营业收入占比和净利润占比统计表：
衣服裤子类
鞋类
帽子围巾类
其他类
营业收入占比
$91.10 %$
$3.98 %$
$3.62 %$
$1.30 %$
净利润占比
$94.80 %$
$- 0.68 %$
$3.62 %$
$2.26 %$
下列判断中不正确的是（）

A、该公司2021年度鞋类销售亏损 B、该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供 C、该公司2021年度帽子围巾类营业收入和净利润相同 D、清除鞋类销售数据后，该公司2021年度衣服裤子类销售净利润占比将会降低

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2、定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = - 3^{|x + m|} + 2$ 为偶函数， $a = f (\log_{2} \frac{1}{2}), b = f ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}})$ ， $c = f (m)$ ，则（　　）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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3、考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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4、小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如 $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$ ， $74 = 2 \times 37$ 等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数 $n$ ，我们将比 $n$ 小且与 $n$ 互质的正整数的个数记为 $A (n)$ ．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以 $A (10) = 4$ ，同理有 $A (12) = 4$ ．

(1)、求 $A (60)$ ， $A (312)$ ；

(2)、求所有 $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ，使得 $A (n)$ 是奇数；

(3)、若正整数 $n = p_{1} p_{2} \dots p_{k}$ ，其中 $p_{1}, p_{2}, ..., p_{k}$ 表示互不相同的质数．证明： $A (n) = n (1 - \frac{1}{p_{1}}) (1 - \frac{1}{p_{2}}) \dots (1 - \frac{1}{p_{k}})$ .

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5、已知焦点为F的抛物线Γ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，圆F与Γ在第一象限的交点为P，与x正，负半轴分别交于点H，G．直线PH，直线PF与Γ的另一交点分别为M，N，直线MN与直线PG交于点T．

(1)、若 $|P F| < 2 p$ ，证明： $∠ P N M > 2 ∠ P M N$ ；

(2)、若 $p = 2$ ，求 $S_{△ P N T}$ 的取值范围．

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6、已知无限高圆柱 $O O_{1}$ ．如图，四边形 $A B C D$ 内接于其底面⊙O，P为其内一动点（包括表面），且平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ， $P C ⊥ A B$ ．

(1)、是否存在点 $P$ 使得直线 $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ？试判断并说明理由．

(2)、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$ ，二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，求 $A P$ 最大时直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的余弦值．

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7、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = a x - \ln x$ ， $g (x) = \frac{e^{x}}{x} (a \neq 0)$ ．

(1)、分别说明 $f (x)$ ， $g (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (g (x))$ 存在唯一极小值点，求 $a$ 的取值范围．

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8、俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B卷难度更大）：
某俱乐部标准资格测试参试成绩预测

不及格
及格
良好
优秀
A卷
a
b
16
4
B卷
20
12
6
2

(1)、若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a的最小值；

(2)、在预测的40份B卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X
①求X的分布列及数学期望；
②人教A版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当n远远小于N时…此时，超几何分布可以用二项分布近似．近似指的是期望还是方差？试判断并说明理由．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
α
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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9、给定一种有穷正整数列的延伸机制Ξ，如图所示：
记 $2, 3, 5$ 经Ξ延伸后得到的无穷数列为 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{2024} =$ ．

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10、甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A和B．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：
①A、B中相同的数字少于两个（如147和289）
②A、B中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174）
根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为．

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11、已知复数 $z = (z + i) (z - i)$ ，若 $m \bar{z} = z^{2}$ ，则 $m =$ ．

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12、已知函数 $f (x) = a^{x} - a x (a > 1)$ ，记 $a = a_{n}$ 时 $f (x)$ 的极值点为 $x_{n}$ （ $n \in N^{*}$ 且 $a_{n}$ 的值均不同）．则下列说法错误的是（）

A、满足 $f (x)$ 有唯一零点的 $a$ 唯一 B、无论 $a$ 取何值， $f (x)$ 都没有过原点的切线 C、若 $x_{1} = x_{2}$ ，则 $a_{1} a_{2} < e^{2 e}$ D、若 $x_{n + 1} = e x_{n}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) \geq e^{n} - 1$

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13、已知抛物线Γ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A，B，且满足 $|A F| > |B F|$ ， $A P ⊥ B P$ ．则下列说法错误的是（）

A、直线AB的倾斜角大于60° B、若 $|P F| = 4$ ，则 $2 |A F| = \sqrt{3} |A B| + 2 |B F|$ C、点P可能在第一象限 D、直线PB的横截距不可能是 $- 1$

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14、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心在AC边上，内切圆半径为 $\sqrt{3} - 1$ ，且 $A = 2 C$ ．设D为AC边上动点，将 $△ A B D$ 沿BD向上翻折，得到四面体ABCD，记为M，其体积为V．则（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆面积为4π B、M不可能是正三棱锥 C、M的外接球球心不可能在其棱上 D、V取最大值时， $|A D| < |C D|$

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15、若满足 $f (x) = a x^{3} - b x + c \geq 0 (c > 0)$ 在 $[- c, c]$ 上恒成立的a唯一，则整数b的值为（）

A、3 B、 $\pm 3$ C、4 D、 $\pm 4$

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16、已知标准椭圆上P，Q两点的切线方程分别为 $2 x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ ， $2 \sqrt{3} x + y - 1 = 0$ ，则直线PQ的斜率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、2 D、 $- 2$

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17、在锐角 $△ A B C$ 中，已知 $\sin (2 A + C) = 2 \sin C - \sin B$ ，则B，C的大小关系为（）

A、 $B > C$ B、 $B = C$ C、 $B < C$ D、无法确定

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18、在递增数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{π}{6}$ ， $\sin (a_{n}) = \cos (a_{n + 1})$ ．已知 $S_{n}$ 表示 $\{a_{n}\}$ 前n项和的最小值，则 $\sin (S_{9}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m，满足上四分位数为28，第80百分位数为30，则m的最小值为（）

A、24 B、25 C、28 D、29

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20、设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = 2 x^{2} + a$ 与直线 $y = m$ 交于点 $A, B$ ．若曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴上方（不含 $x$ 轴）的正三角形 $A B C$ 的两条边相切，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{3}{8})$ B、 $(- \infty, \frac{3}{8})$ C、 $[\frac{3}{8}, + \infty)$ D、 $(\frac{3}{8}, + \infty)$

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	衣服裤子类	鞋类	帽子围巾类	其他类
营业收入占比	$91.10 %$	$3.98 %$	$3.62 %$	$1.30 %$
净利润占比	$94.80 %$	$- 0.68 %$	$3.62 %$	$2.26 %$

α	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	不及格	及格	良好	优秀
A卷	a	b	16	4
B卷	20	12	6	2