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相关试卷

1、已知 $(1 - i) z - 1 = 0$ ，则z的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, m, 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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3、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + b}{x}$ 为奇函数，其函数图象经过点 $(1, 10)$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $[3, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、若命题 $p$ ：“ $\forall x \in [4, 6]$ ， $f (x) \geq 2 m - 1$ ”为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知________.请从下列两个条件中任选一个作答.
条件①：角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $M (x, \frac{\sqrt{5}}{5})$ ；
条件②：角 $α$ 满足 $3 \sin^{2} α - 2 \cos^{2} α + 1 = 0$ .

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\sin α \cos α - \sin^{2} α$ 的值.
注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分.

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5、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0\}$ ， $B = \{x ∣ x (x - 2) \leq 0\}$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $C$ ， $D$ 为集合，定义集合运算 $C + D = \{z ∣ z = x + y, x \in C, y \in D\}$ ，求 $A + B$ ．

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6、已知函数 $f (x)$ 在定义域 $R$ 上单调递增， $f (0.64) < 0$ ， $f (0.68) < 0$ ， $f (0.72) > 0$ ，则函数 $f (x)$ 的一个误差不超过0.05的零点可以为（）

A、0.6 B、0.68 C、0.7 D、0.72

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7、设 $a = \log_{π} 3, b = 2^{\frac{1}{3}}, c = \log_{2} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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8、从① $\frac{\sqrt{3} b sin A}{1 + cos B} = a$ ；② $a sin B - \sqrt{3} b cos B cos C = \sqrt{3} c {cos}^{2} B$ ；③ $1 + \frac{tan B}{tan C} = \frac{2 a}{c}$ ；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，若________________．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $sin A + sin C$ 取值范围；

(3)、当 $sin A + sin C$ 取得最大值时，在 $△ A B C$ 所在平面内取一点 $D$ （ $D$ 与 $B$ 在 $A C$ 两侧），使得线段 $D C = 2, D A = 1$ ，求 $△ B C D$ 面积的最大值．
（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）

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9、已知圆锥的轴截面面积为 $9 \sqrt{3}$ ，侧面展开图为半圆.

(1)、求其母线长；

(2)、在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体 $E$ ，其中正四棱柱的底面边长为 $\sqrt{2}$ ，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体 $E$ 的体积；

(3)、求此圆锥外接球的表面积.

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10、如图，为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B的路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为 $α$ ， $β$ ，在点B观测到M，N处的俯角分别为 $γ$ ， $δ$ ．

(1)、求A，N之间的距离（用字母表示）；

(2)、若 $a = 10 \sqrt{3}$ ， $α = 75 °$ ， $β = 30 °$ ， $γ = 45 °$ ， $δ = 60 °$ ，求M，N之间的距离．

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11、如图，底面为等边三角形的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $D$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A D$ $∥$ 平面 $B C_{1} E$ ；

(2)、求三棱锥 $C - A B E$ 的体积.

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12、已知向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $|3 \vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、求 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ；

(3)、当 $k$ 为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ．

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13、正三棱锥底面边长为3，侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则正三棱锥高为；正三棱锥的侧面积为.

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14、如图所示，圆锥 $S O$ 的底面半径 $r = \sqrt{3}$ ，高 $S O = 1$ ， $A B$ 是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的体积为 $π$ B、圆锥 $S O$ 的表面积为 $(2 \sqrt{3} + 3) π$ C、 $△ S B M$ 的面积的最大值是 $\sqrt{3}$ D、有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为 $\sqrt{3} π$

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15、下列说法正确的是（）

A、若 $z = - 1 + 3 i$ ，则 $|z| = \sqrt{10}$ B、若 $z = - 2 + 4 i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限 C、若复数 $(m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 3 m) i$ 是纯虚数，则实数 $m$ 的值为2 D、若 $2 - i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ （ $p, q \in R$ ）的根，则 $p = 4$

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16、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为不共线向量， $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}, \vec{B C} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}, \vec{C D} = 3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，则（）

A、 $A, B, D$ 三点共线 B、 $A, B, C$ 三点共线 C、 $B, C, D$ 三点共线 D、 $A, C, D$ 三点共线

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17、已知水平放置的四边形 $O A B C$ 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 $O^{'} A^{'} // B^{'} C^{'}$ ， $∠ O^{'} A^{'} B^{'} = 90 °$ ， $O^{'} A^{'} = 1$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，则原四边形 $O A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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18、已知直线 $l_{1}$ ： $a x + y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $x + a y - 2 = 0$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）条件.

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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19、对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数 $x$ ，满足 $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为“局部反比例对称函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{2}$ ，试判断 $f (x)$ 是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由；

(2)、用定义证明函数 $f (x) = \frac{1}{x} + x$ 在 $(1, + \infty)$ 为单调递增函数；

(3)、若 $f (x) = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 7$ 是定义在区间 $(0, + \infty)$ 上的“局部反比例对称函数”，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a (\sqrt{3} \sin B + \cos B) = b + c$ ．

(1)、求角 $A$ ．

(2)、 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D = 2$ ．
①若 $B D = 2 D C$ ，求当 $B C$ 取最小值时 $\frac{c}{b}$ 的值；
②若 $A D$ 为角平分线，求 $A B + 3 B D$ 的取值范围．

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