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相关试卷

1、设直线 $b$ 与平面 $α$ 相交但是不垂直，则下列说法中正确的是（）

A、平面 $α$ 内的直线与直线 $b$ 都不垂直 B、过直线 $b$ 的平面与平面 $α$ 都不垂直 C、与直线 $b$ 垂直的直线可能与平面 $α$ 垂直 D、与直线 $b$ 平行的平面可能与平面 $α$ 垂直

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2、 $\tan (α + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{2}$ ，则 $\sin (2 α + π)$ 的值为（）．

A、 $- \frac{12}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，并且满足 $S_{3} = 15$ ， $S_{7} = 77$ ，则 $a_{6}$ 为（）．

A、17 B、15 C、11 D、9

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4、已知集合 $A = \{x |\lg x \leq 0\}$ ， $B = \{x |10^{x} \leq 10\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、设 $△ A B C$ 的外接圆半径为R，内切圆半径为r，且内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，定义 $f = \frac{R}{r}$ 的值为 $△ A B C$ 的“径比”．

(1)、若 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，求 $△ A B C$ 的径比f；

(2)、证明： $f = \frac{sin A + sin B + sin C}{2 sin A sin B sin C}$ ；

(3)、若 $cos 2 A + cos 2 B = 1 + cos 2 C$ ，求f的最值．

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6、设函数 $f (x) = R cos (ω x - φ) (R > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，其部分图象与坐标轴交点如图所示．

(1)、若 $R = 1$ ， $ω = π$ ， $φ = \frac{π}{4}$ ，求 $tan ∠ A B C$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a^{2} - 2 a b cos B = {(b - c)}^{2}$ ．
（ⅰ）证明： $△ A B C$ 是等腰三角形；
（ⅱ）若 $b = sin B$ ，求当 $f (x)$ 的最小正周期为多少时， $△ A B C$ 的中线BD能取得最大值．

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7、已知在面积为S的 $△ A B C$ 中 ${\vec{B C}}^{2} = \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ．

(1)、证明： $A B^{2} + A C^{2} = 3 B C^{2}$ ；

(2)、若 $B C = 2$ ，求S的最大值．

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8、如图，已知圆锥OP的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， $A B = P O = 2$ ，点C是底面圆周上异于A，B的一点，D是PB的中点，空间中一点Q满足 $A P / / C Q$ ．

(1)、证明： $O D / /$ 平面PQC；

(2)、设球M与圆锥的侧面和底面均相切，求球M的半径；

(3)、证明：“ $P Q / /$ 平面ABC”是“ $A P = C Q$ ”的充要条件．

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9、已知在正方形ABCD中， $\vec{A P} = 2 \vec{P D}$ ， $\vec{C Q} = 2 \vec{Q B}$ ．

(1)、设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{P Q}$ ；

(2)、若AC上一点R满足 $\vec{A R} = λ \vec{A P} + (1 - λ) \vec{A Q}$ ，求 $λ$ 的值．

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10、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，若 $m < 0 < n$ ，且 $f (m) + f (n) = 0$ ，则 $n - m$ 的取值范围为．

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11、 $\frac{cos 20 ° - 2 cos 80 °}{cos 110 °} =$ ．

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12、已知 $z = a^{2} - 5 a + 6 + (a - 2) i$ 为纯虚数，则实数 $a =$ ．

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13、定义复数运算： $z_{1} ⊙ z_{2} = \bar{z_{1}} \bar{z_{2}} + z_{1} z_{2}$ ，已知复数 $z = 1 + 2 i$ ， w满足 $z ⊙ w = 10$ ，则（）

A、w可以是 $3 + i$ B、 $|w|$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ C、 $w$ 在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D、 $z w$ 的实部是5

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14、已知圆锥的底面半径 $r = 2$ ，母线长 $l = 6$ ，设该圆锥的侧面展开图为扇形AOB，O为扇形圆心，则（）

A、扇形AOB的圆心角 $α$ 为 $\frac{π}{3}$ B、圆锥的高h为 $4 \sqrt{2}$ C、圆锥的表面积为 $16 π$ D、从 $A$ 点绕圆锥侧面一周回到 $A$ 点的最短距离为 $6 \sqrt{3}$

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15、用斜二测画法画出 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，在 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 中，内角 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ 的对边分别为 $a^{'}$ ， $b^{'}$ ， $c^{'}$ ，满足 ${a^{'}}^{2} - {c^{'}}^{2} = b^{'} c^{'} + {b^{'}}^{2}$ ，且 $b^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 中AB边上的高为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

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16、如图，某校高一几位同学测量平地上某建筑物CP的高度，从地面上一点A观察建筑物顶部P的仰角为 $α$ ，朝建筑物方向向前20m到达点B，从点B观察P的仰角为 $\frac{3 α}{2}$ ，则建筑物CP的高度为（）

A、 $40 cos \frac{α}{2} sin \frac{3 α}{2} m$ B、 $40 sin \frac{α}{2} sin \frac{3 α}{2} m$ C、 $20 cos \frac{α}{2} sin \frac{3 α}{2} m$ D、 $20 sin \frac{α}{2} sin \frac{3 α}{2} m$

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 4), \vec{b} = (1, 0)$ ，若向量 $\vec{c}$ 满足 $〈 \vec{a}, \vec{c} 〉 = 〈 \vec{b}, \vec{c} 〉$ ，则 $\vec{c}$ 可以是（）

A、 $\vec{a} + 5 \vec{b}$ B、 $5 \vec{a} + \vec{b}$ C、 $3 \vec{a} + 4 \vec{b}$ D、 $4 \vec{a} + 3 \vec{b}$

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18、若锐角 $α$ ， $β$ 满足 $sin α = cos (β + \frac{π}{6})$ ，则 $tan (α + β) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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19、下列命题中为真命题的是（）

A、圆台的侧面展开图是一个扇形 B、用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C、有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱 D、五棱锥共有6个顶点，11条棱

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20、已知向量 $\vec{a} = (3, 5), \vec{b} = (2, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、3 B、4 C、 $\frac{23}{5}$ D、 $\frac{28}{5}$

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