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相关试卷

1、已知正四面体的棱长为 $4 \sqrt{6}$ ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 $2 \sqrt{6}$ 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为.

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2、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30^{\circ} ， ∣ \vec{a} ∣ = 4 \sqrt{3} ， \vec{b} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) ，$ 则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量 $\vec{c}$ 的坐标为.

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3、在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AC与A₁B所成角的大小为.

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4、如图，在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C_{1} Q} = λ \vec{C_{1} B_{1}} + μ \vec{C_{1} C} (λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ B、若 $D_{1} Q //$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点 $Q$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则四面体 $D P Q A_{1}$ 的体积为定值 D、平面 $A_{1} P D$ 截正方体的截面面积为 $18$

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5、下列说法中正确的是（）

A、数据 $2$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $7$ 、 $8$ 、 $10$ 、 $11$ 的下四分位数为 $3$ B、若 $A$ 、 $B$ 为互斥事件，则 $A$ 的对立事件与 $B$ 的对立事件一定互斥 C、设样本数据 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $\dots$ 、 $x_{9}$ 、 $x_{10}$ 的平均数和方差分别为 $2$ 和 $8$ ，若 $y_{i} = 2 x_{i} + 1 (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 、 $\dots$ 、 $y_{9}$ 、 $y_{10}$ 的平均数和方差分别为 $5$ 和 $32$ D、已知 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.4$ ，且 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = 0.2$

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6、若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 + 3 i$ （ $i$ 是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、 $z = 3 - i$ B、 $\bar{z}$ 的模为 $4$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $z - 2 \bar{z} = - 3 - 3 i$

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7、十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.在费马提到的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于 $120^{\circ}$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成 $120^{\circ}$ 角；当三角形有一内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，所求的点为三角形最大内角的顶点.已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边，且 $a^{2} - {(b - c)}^{2} = 8$ ， $b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ，若 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 6$ D、 $- \frac{3}{2}$

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8、如图，在△ABC中， $\vec{P C} = 2 \vec{B P} ，$ 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 $\vec{A B} = m \vec{A M} ， \vec{A C} = n \vec{A N} ，$ 其中m，n>0，则 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、如图，某几何体可看成是 $3$ 个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的 $4$ 倍，若几何体I、II、III的高之比分别为 $2 : 3 : 5$ ，则几何体I、II、III的体积之比为（）

A、 $2 : 6 : 15$ B、 $9 : 15 : 25$ C、 $6 : 21 : 35$ D、 $9 : 21 : 56$

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10、位于灯塔 $A$ 处正西方相距 $30$ 海里的 $B$ 处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔 $A$ 处北偏东 $45^{\circ}$ 方向有一与灯塔 $A$ 相距 $10 \sqrt{2}$ 海里的 $C$ 处有一艘乙船，则乙船前往支援 $B$ 处甲船需要航行的最短距离是（）

A、 $10 \sqrt{5}$ 海里 B、 $10 \sqrt{17}$ 海里 C、 $8 \sqrt{17}$ 海里 D、 $30$ 海里

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11、已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $6 π$ B、 $12 π$ C、 $3 π$ D、 $2 π$

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12、某班有男生 $36$ 人，女生 $20$ 人，现在要用性别比例分配的分层随机抽样方法从该班中抽取 $14$ 人参加跳绳比赛，则男生被抽取的人数为（）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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13、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (m, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{a})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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14、已知复数 $z = \frac{5 + i}{1 - i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $2 + 3 i$

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15、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，上下顶点分别为 $B_{1}$ 、 $B_{2}, △ B_{1} F_{1} F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，过焦点的直线交椭圆 $Γ$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点（ $P$ 、 $Q$ 分别在第一、四象限）.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的离心率；

(2)、已知点 $M (0, m)$ ， $m > 0$ ，求椭圆 $Γ$ 上的动点 $R$ 到点 $M$ 的最大距离；

(3)、求四边形 $B_{1} B_{2} Q P$ 面积的取值范围.

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16、二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数 ${(a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{k})}_{2}$ ( $k \in N^{*}$ ）对应的十进制数记为 $m_{k}$ ，即 $m_{k} = a_{0} \times 2^{k} + a_{1} \times 2^{k - 1} + ... + a_{k - 1} \times 2 + a_{k} \times 2^{0}$ $，$ 其中 $a_{0} = 1$ ， $a_{i} \in \{0 ， 1\} （ i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， k ）$ ，则在 $a_{0} {， a}_{1} {， a}_{2} ， \dots a_{8}$ 中恰好有2个0的所有二进制数 ${(a_{0} a_{1} ... a_{8})}_{2}$ 对应的十进制数的总和为（）

A、1910 B、1990 C、12252 D、12523

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17、有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为 $\frac{1}{2}$ ．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．

(1)、若此人 $i$ 次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各 $1$ 个的概率记为 $p_{i}$ ，求 $p_{2}$ ， $p_{3}$ ；

(2)、该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = A D = C D = 2$ ， $B C = 3$ ， $P C = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面PAD；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成角的大小．
条件①： $A B = \sqrt{5}$ ；
条件②： $B C ∥$ 平面PAD．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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19、如图，在三角形 $A B C$ 中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \sin^{2} C = 2 \sqrt{3} \sin A \sin B \sin C$ ， $D B = 2$ ， $D C = 4$ ，则四边形 $A B D C$ 的面积的最大值为.

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则当实数 $λ$ 变化时， $|\vec{b} - λ \vec{a}|$ 的最小值为．

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