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相关试卷

1、若随机变量X服从两点分布， $P (X = 1) - P (X = 0) = 0.4$ ，则 $P (X = 1)$ 为（）

A、0.3 B、0.5 C、0.7 D、0.8

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2、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{5} = 15$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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3、设函数 $f (x) = 2 \cos x$ ，则 $f^{'} (2)$ 的值为（）

A、 $2 \cos 2$ B、 $- 2 \cos 2$ C、 $2 \sin 2$ D、 $- 2 \sin 2$

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4、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接 $A C$ ， $B D$ 交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设 $\vec{A Q} = λ_{1} \vec{A C}$ ， $\vec{B Q} = λ_{2} \vec{B D}$ ，求 $\frac{5}{λ_{1}} + \frac{1}{λ_{2}}$ 的最大值．

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5、2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．

(1)、若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

(2)、若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列及 $E (X)$ ．

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6、已知函数 $f (x) = \log_{a} (3 - x) - \log_{a} (3 + x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ .

(1)、判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)、若 $f (1) = - 1$ ，当 $x \in [- 1, 1]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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7、将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3}$ 的概率为．

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M$ 为平面 $A B C D$ 内一动点，则下列结论正确的有（）

A、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} B$ B、若直线 $D_{1} M$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $M$ 的轨迹是椭圆 C、存在点 $M$ ，使得 $\vec{D_{1} M} = \vec{D_{1} D} + \frac{1}{2} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ D、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球被平面 $A_{1} C_{1} B$ 所截得的截面面积为 $\frac{2}{3} π$

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9、甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记 $A_{1}$ 表示事件“从甲袋摸出的是红球”， $A_{2}$ 表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记 $B_{1}$ 表示事件“从乙袋摸出的是红球”， $B_{2}$ 表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是对立事件 B、 $A_{1}$ ， $B_{2}$ 是独立事件 C、 $P (B_{2} |A_{2}) = \frac{3}{14}$ D、 $P (B_{2} |A_{1}) + P (B_{1} |A_{2}) = \frac{7}{8}$

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10、已知 $2 + \log_{2} x = 3 + \log_{3} y = 5 + \log_{5} z$ ，则x，y，z的大小关系不可能是（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $y > x > z$ D、 $y > z > x$

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11、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (6 - x) + f (x) = 0$ ，且 $f (2 x + 1)$ 为偶函数，则 $f (2023) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12、下列说法中正确的是（）
①设随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6, \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 3) = \frac{5}{16}$
②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 $\frac{46}{57}$
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 $A =$ “4个人去的景点互不相同”，事件 $B =$ “小赵独自去一个景点”，则 $P (A |B) = \frac{2}{9}$ ；
④ $E (2 X + 3) = 2 E (X) + 3$ ； $D (2 X + 3) = 4 D (X) + 3$ .

A、①② B、②③ C、①③④ D、①②③

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13、函数 $f (x) = s i n x \cdot l n \frac{x - 1}{x + 1}$ 的大致图象为 $($ 　　 $)$

A、 B、 C、 D、

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14、下表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格 $y$ （单位：千元）与月份代码 $x$ 的统计数据．由表中数据计算得到经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.19$ ，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为（）
月份代码 $x$
1
2
3
4
5
碳酸锂价格 $y$
0.5
0.7
1
1.2
1.6

A、2.41千元 B、2.38千元 C、2.35千元 D、2.32千元

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15、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 15 < 0\}$ ， $B = \{x ∣ x = 3 k - 2, k \in Z\}$ ，则集合 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、将所有平面向量组成的集合记作 $R^{2}$ .如果对于向量. $\vec{x} = (x_{1}, x_{2}) \in R^{2}$ ，存在唯一的向量 $\vec{y} = (y_{1}, y_{2}) \in R^{2}$ 与之对应，其中坐标 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 由 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 确定，则把这种对应关系记为. $\vec{y} = f (\vec{x})$ 或者 $(y_{1}, y_{2}) = f (x_{1}, x_{2})$ 简记为 $f$ .例如 $(y_{1}, y_{2}) = f (x_{1}, x_{2}) = (2 x_{1} + x_{2}, x_{1}^{2})$ 就是一种对应关系.若在 $|\vec{x}| = 1$ 的条件下 $|\vec{y}|$ 有最大值，则称此最大值为对应关系 $f$ 的模，并把 $f$ 的模记作 $‖f‖$ ；若存在非零向量 $\vec{x} \in R^{2}$ 及实数 $λ$ 使得 $f (\vec{x}) = λ \vec{x}$ ，则称 $λ$ 为 $f$ 的一个特征值，

(1)、如果 $f (x_{1}, x_{2}) = (3 x_{1}, 3 x_{2})$ ，求 $‖f‖$ ；

(2)、如果 $f (x_{1}, x_{2}) = (2 x_{1} + 4 x_{2}, x_{1} - x_{2})$ ，计算 $f$ 的特征值，并求相应的 $\vec{x}$ ；（若符合条件的向量 $\vec{x}$ 有多个，写出其中一个即可）

(3)、若 $f (x_{1}, x_{2}) = (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}, b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2})$ ，要使 $f$ 有唯一的特征值，实数 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $b_{1}$ 、 $b_{2}$ 应满足什么条件?试找出一个对应关系 $f$ ，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值 $λ$ ， ② $‖f‖ = |λ|$ ，并验证 $f$ 满足这两个条件.

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17、如图，等腰直角三角形 $A B C$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 所在平面垂直， $O$ 为 $A B$ 的中点，且 $A C = B C$ ， $M$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的点， $N$ 是 $A M$ 的中点.

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $O C N$

(2)、若圆 $O$ 的半径为 $1$ ，设 $∠ M A B = α$ ，
（i）当 $α = 30^{\circ}$ 时，求二面角 $C - A M - B$ 的平面角的正切值；
（ii）当 $M$ 在弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上运动时（不与 $A$ 、 $B$ 重合），证明：点 $O$ 到平面 $B C M$ 的距离 $d = \frac{\cos α}{\sqrt{1 + \cos^{2} α}}$ .

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18、DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加DeepSeek培训.

(1)、已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率；

(2)、此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率.

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19、在 $△ A B C$ 中，已知a，b，c分别是 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边，记 $\vec{m} = (2 c, 1) ，$ $\vec{n} = (2 a - b, \cos B) ，$ 且 $\vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = \sqrt{3} ，$ 求 $2 b - a$ 的取值范围.

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20、为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了 $100$ 名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照 $[0, 2)$ 、 $[2, 4)$ 、 $[4, 6)$ 、 $[6, 8)$ 、 $[8, 10]$ 分成 $5$ 组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、根据频率分布直方图估计样本数据的第 $80$ 百分位数；

(3)、根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这 $100$ 名住户上周体育锻炼时间的平均值.

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月份代码 $x$	1	2	3	4	5
碳酸锂价格 $y$	0.5	0.7	1	1.2	1.6