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相关试卷

1、命题“ $\exists a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 是偶函数”的否定形式是（）

A、 $\forall a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 是奇函数 B、 $\forall a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 不是偶函数 C、 $\exists a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 是奇函数 D、 $\exists a > 0 ， f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{2}$ 不是偶函数

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2、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $q$ 为 $\{a_{n}\}$ 的公比， $q > 0 .$ 若 $S_{3} = 7, a_{3} = 1$ ，则（）

A、 $q = \frac{1}{2}$ B、 $a_{5} = \frac{1}{9}$ C、 $S_{5} = 8$ D、 $a_{n} + S_{n} = 8$

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3、已知双曲线C的虚轴长是实轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4、已知函数 $f (x) = e^{x}, g (x) = a x + 1$ ．

(1)、讨论函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $\forall x \in R, f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $x ln x + x cos x + 1 < f (x)$ ．

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5、如图，椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ．设 $A, B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1}$ 与直线 $B F_{2}$ 平行， $A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求证： $\frac{1}{|A F_{1}|} + \frac{1}{|B F_{2}|}$ 是定值；

(3)、求三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的周长．

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 为正三角形． $A B =$ $A_{1} A = A_{1} B = 4$ ，且 $cos ∠ A_{1} A C = \frac{1}{4}, O$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ A_{1} O$ ；

(2)、点 $P$ 是线段 $A_{1} O$ 上一点，求使得二面角 $P - B C - C_{1}$ 的正弦值不小于 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ 的点 $P$ 形成的轨迹长度．

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7、已知 $△ A B C$ ，其内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{1}{\sin A} = \frac{2 \cos B}{2 \sin C + \sin B}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的中点，求 $A D$ 的长．

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8、在5道数学试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.

(1)、如果从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；

(2)、如果从中抽3道题，记 $X$ 表示抽到代数题的道数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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9、函数 $f (x) = \frac{ln (e^{2 x} + 1)}{x}$ 在区间 $[- e, - 1] \cup [1, e]$ 上的最大值为 $a$ ，最小值为 $b$ ，则 $a + b =$ ．

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} + 1, x \leq 0 \\ |{log}_{2} x| - 1, x > 0 \end{array}$ ，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$ B、方程 $f (x) = 2$ 有两个不等的实数解 C、不等式 $f (f (x)) > 0$ 的解集为 $(0, \frac{1}{8}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{4}, 2 \sqrt{2}) \cup (8, + \infty)$ D、关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 f (x) = 1 - a^{2}$ 的解的个数可能为 $2, 4, 5$

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11、设正实数x，y满足 $x + y = 2$ ，则（）

A、 $x y$ 有最大值为1 B、 $x^{2} + y^{2}$ 有最小值为4 C、 $\frac{4 y}{x} + \frac{2}{y}$ 有最小值为5 D、 $\sqrt{x + 3} + \sqrt{y + 4}$ 有最大值为 $3 \sqrt{2}$

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} - k (x^{2} + 2)$ 有两个极值点 $a, b$ ，若 $a = 2 b$ ，则 $k =$ （）．

A、0 B、 $ln 2$ C、 $\frac{1}{ln 2}$ D、 $e$

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13、已知 $a \in R$ ， $(a x^{2} - x - a + 1) \ln x \leq 0$ 在 $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{3}]$

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14、圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知 $P$ 为该圆台某条母线的中点，若一质点从点 $P$ 出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点 $P$ ，则该质点运动的最短路径长为（）

A、16 B、 $16 \sqrt{2}$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

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15、已知 $f (x)$ 是奇函数，函数 $y = f (x + 1)$ 是偶函数，当 $x \in [- 1, 0]$ 时， $f (x) = x$ ，则 $f (2025) =$ （）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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16、设 $a = 7^{0}, b = {0.3}^{3}, c = {log}_{7} \frac{1}{3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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17、设 $α, β$ 是两个不同的平面， $α \cap β = l$ ， $m$ 是异于 $l$ 的一条直线，则“ $m / / l$ ”是“ $m / / β$ 且 $m / / α$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知集合 $A = {x ∣ \log_{2} x \leq 2, x \in N}$ ， $B = {x | \frac{x + 1}{x - 4} \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 4}$ B、 ${x ∣ 0 < x < 4}$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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19、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, x_{0} (x_{0} \neq 0)$ 是 $f (x)$ 的极大值点，则（）

A、 $- x_{0}$ 是 $f (- x)$ 的极小值点 B、 $- x_{0}$ 是 $- f (x)$ 的极大值点 C、 $- x_{0}$ 是 $- f (- x)$ 的极小值点 D、 $- x_{0}$ 是 $f (|x|)$ 的极大值点

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20、 $\forall x \in R, [x]$ 表示不超过x的最大整数．十八世纪， $y = [x]$ 被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（）

A、 $\exists x \in R, x \geq [x] + 1$ B、 $\exists x \in R, [4 x] = 4 [x] + 2$ C、 $\forall x, y \in R, [x + y] \leq [x] + [y]$ D、函数 $y = x - [x] (x \in R)$ 的值域为 $[0, 1)$

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