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相关试卷

1、为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：
高一年级成绩分布表
成绩
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
人数
1
2
3
4
10
高二年级成绩频率分布直方图

(1)、从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率；

(2)、用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量 $X$ 表示这三人中成绩不低于90分的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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2、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，在其内部放入两个相外切的球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ （可与正方体表面相切），半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ ，则 $r_{1} + r_{2}$ 的最大值为．

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{\cos A} = 2, b + c = 2 a \cos B + 2 a \cos C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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4、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ 、 $F_{2} (1, 0)$ ，以 $F_{2}$ 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于 $M$ 、 $N$ 两点，若直线 $M F_{1}$ 与圆 $F_{2}$ 相切，则 $a =$ ．

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5、函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{b}{x} (a b \neq 0)$ 的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数 $f (x)$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为 $\bar{x_{1}}$ ，方差为 $S_{1}^{2}$ ，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为 $\bar{x_{2}}$ ，方差为 $S_{2}^{2}$ ，两个班总的平均分为 $\bar{x}$ ，方差为 $S^{2}$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、若 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ，则 $\bar{x} = \frac{1}{2} (\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}})$ B、若 $m = n$ ，则 $\bar{x} = \frac{1}{2} (\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}})$ C、若 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ，则 $S^{2} \geq \frac{1}{2} (S_{1}^{2} + S_{2}^{2})$ D、若 $m = n$ ，则 $S^{2} \geq \frac{1}{2} (S_{1}^{2} + S_{2}^{2})$

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7、在 ${(1 - 2 x)}^{2 n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、展开式共 $2 n + 2$ 项 B、各项系数的和为1 C、 $x^{2 n - 2}$ 项的系数为 $(2 n^{2} - 2) 4^{n - 1}$ D、二项式系数最大的项为第 $n + 1$ 项

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8、一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为 $x_{1}, x_{2}$ ，事件A： $x_{1} = 3$ ，事件B： $x_{2} = 6$ ，事件C： $x_{1} + x_{2} = 9$ ，则（）

A、A，B互斥 B、 $A \cup B = C$ C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、A，B，C两两独立

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若A，B，C是直线 $y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x)$ 图象的从左至右相邻的三个交点，且 $|A B| = \frac{1}{3} |B C|$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M, N$ 为 $C$ 上的不同两点，若线段 $M N$ 的中点到 $y$ 轴的距离为2，则 $|M F| \cdot |N F|$ 的最大值为（）

A、3 B、6 C、9 D、36

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11、已知奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且满足 $g (x) = f (x) + e^{- x}$ ，则 ${[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $f (2 x)$ D、 $g (2 x)$

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12、设 $\tan α, \tan β$ 是方程 $x^{2} + p x + p - 1 = 0 (p > 1)$ 的两根，则 $\frac{\sin (α + β)}{\sin α \sin β} =$ （）

A、p B、 $- p$ C、 $\frac{p}{p - 1}$ D、 $\frac{p}{1 - p}$

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13、某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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14、已知 $(1 + i) z = 1 + i^{3}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、0 D、 $- 2$

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15、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线， $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、6 D、 $- \frac{2}{3}$

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16、已知 $A$ 、 $B$ 是单位圆上相异的两个定点（ $O$ 为此单位圆圆心），点 $C$ 是单位圆上的动点且 $\vec{O C} = cos α \vec{O A} + sin α \vec{O B} (α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}))$ .直线 $A C$ 交直线 $O B$ 于点 $M$ .

(1)、若 $α = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；

(2)、设 $\vec{O M} = t \vec{O B}$ ， $\vec{A M} = λ \vec{A C}$
①用 $α$ 表示 $t$ ；
②求 $\frac{S_{△ C O M}}{S_{△ B M A}}$ 的取值范围.

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17、我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为线段 $P B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的动点.

(1)、求证：直线 $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $P - D C - B$ 的大小；

(3)、若直线 $P C / /$ 平面 $A E F$ ，求直线 $A B$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = C C_{1} = 2$ ， $∠ A C B = 120^{\circ}$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $A C_{1}$ ∥平面 $B_{1} C E$ ；

(2)、求三棱锥 $B - B_{1} C E$ 的体积.

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19、如图所示，已知圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面 $A B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，球 $O$ 在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 内，且与圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的上、下底面均相切．则球 $O$ 的表面积为；若 $P$ 为圆柱下底面圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点，则平面 $P A B$ 截球 $O$ 所得截面的周长为．

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20、已知复数 $z$ 满足 $1 \leq |z| \leq 3$ ，则在复平面内复数 $z$ 对应的点 $Z$ 的集合构成区域的面积为.

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成绩	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
人数	1	2	3	4	10