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相关试卷

1、如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字 $n (n = 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 9)$ 的不同路线条数记为 $r_{n}$ ，从1移动到9的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字 $n (n = 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 8)$ 的概率记为 $P_{n}$ ，则 $r_{5} =$ ， $P_{6} =$ ．

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2、已知曲线 $y = x + ln x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与曲线 $y = e^{a x} - 1$ 相切，则 $a$ 的值为．

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3、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.26$ ，则 $P (2 \leq X \leq 4) =$ ．

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4、用半径为 $R$ 的圆形铁皮剪出圆心角为 $θ$ 的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器 $S O$ ，底面圆 $O$ 的半径为 $r$ ．则下列说法正确的是（）

A、当 $r = \frac{3}{2}$ ，且圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ 时，圆锥的体积 $V = \frac{3 \sqrt{7} π}{8}$ B、当 $r = \frac{3}{2}$ ，且圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ 时，过圆锥 $S O$ 的顶点 $S$ 所作的截面中，截面面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ C、当 $R = 3$ ，且圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ 时，圆锥 $S O$ 能在棱长为 $4$ 的正四面体内任意转动 D、当 $θ = \frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ 时，圆锥 $S O$ 的体积最大

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5、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ ，其左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $E$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ B、当 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 时， $|A B| = \frac{16 \sqrt{3}}{5}$ C、直线 $l$ 的斜率可以为 $\sqrt{2}$ D、 $E$ 上存在点 $M$ ，使 $∠ M F_{2} F_{1} = 3 ∠ M F_{1} F_{2} \neq 0$

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6、已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 30$ ， $a_{6} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $d = - 1$ B、 $a_{3} = 6$ C、 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是递减数列 D、若 $S_{n} > 0$ ，则 $n$ 的最大值是 $11$

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7、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y > 0$ ，总有 $f (x y) < f (x) + f (y) + 1$ 成立，且当 $x > 1$ 时， $f (x) < - 1$ ．设 $a = f (\frac{2}{ln 2}), b = f (\frac{3}{ln 3}), c = f (e) (e \approx 2.718 \cdot \cdot \cdot)$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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8、某次马拉松比赛活动中，甲，乙，丙，丁四位志愿者派往 $A ， B ， C$ 三个物资发放点，若每个物资发放点至少派一位志愿者，且每位志愿者只能派往一个物资发放点，则在甲被派去 $B$ 物资发放点的条件下，甲，乙被派去同一个物资发放点的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{4}) (0 < ω < 3) ， x = \frac{π}{8}$ 是 $f (x)$ 的一个零点，则当 $x \in (- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 时， $y = f (x) + f (x + \frac{π}{4})$ 的值域为（）

A、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ D、 $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}]$

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10、若命题 $p : f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数， $q : g (x) = x^{2} + (a^{2} - a) x + 1$ 为偶函数，则 $p$ 是 $q$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (cos θ, 2) ， \vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $sin θ =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、1

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12、若抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的准线为直线 $l$ ，且 $l$ 交圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $∠ A O B =$ （）

A、 $\frac{5π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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13、已知 $z = (1 + 3 i) (3 - i)$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知集合 $A = {x \in N | (x - 1) (x - 4) \leq 0}$ ， $B = {x \in N | 0 < x < 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1 ， 2\}$ B、 $\{1 ， 2 ， 3\}$ C、 $\{1 ， 2 ， 3 ， 4\}$ D、 $\{0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4\}$

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15、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4, △ A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、设 $D$ 为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B$ ，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ .
（i）证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；
（ii）求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值.

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16、甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出.已知每次甲回答正确的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙回答正确的概率为 $\frac{2}{3}$ ，丙回答正确的概率为 $\frac{1}{2}$ ，三个人回答每个问题相互独立.

(1)、求一轮中三人全部回答正确的概率；

(2)、记 $P_{n}$ 为甲在第 $n$ 轮胜出的概率， $Q_{n}$ 为乙在第 $n$ 轮胜出的概率，求 $P_{n}$ 与 $Q_{n}$ ，并比较 $P_{n}$ 与 $Q_{n}$ 的大小.

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17、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， $A D ⊥ A B, A B / / D C, P A ⊥$ 底面ABCD，点 $E$ 为棱PC的中点， $A D = D C = A P = 2 A B = 2$ .

(1)、证明： $B E / /$ 平面PAD；

(2)、求点E到直线CD的距离；

(3)、求直线BE与平面PDC所成角的余弦值.

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18、在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线 $4 x - 3 y + 5 = 0$ 垂直；
②直线的一个方向向量为 $\vec{a} = (- 4, 3)$ ；
③与直线 $3 x + 4 y + 2 = 0$ 平行．
已知直线l过点 $P (1, - 2)$ ， _________________．

(1)、求直线l的一般方程；

(2)、若直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相交于P，Q，求弦长 $|P Q|$ ．

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19、已知A，B，C三点共线，则对空间任一点 $O$ ，存在三个不全为0的实数a，b，c使 $a \vec{O A} + b \vec{O B} + c \vec{O C} = \vec{0}$ ，那么 $a + b + c$ 的值为.

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20、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1, C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 1$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相离 B、当 $r = 2$ 时， $y = 1$ 是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的一条公切线 C、当 $r = 4$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 有一条公切线是 $7 x - 24 y - 25 = 0$ D、当 $r = 5$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线的方程为 $6 x + 8 y - 1 = 0$

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