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相关试卷

1、两平行直线 $l_{1} : 2 x + 4 y + 1 = 0$ ， $l_{2} : x + 2 y - 2 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知a是4与6的等差中项，b是 $- 1$ 与 $- 64$ 的等比中项，则 $a + b =$ （）

A、13 B、 $- 3$ C、3或 $- 13$ D、 $- 3$ 或13

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3、直线 $l : 2 x - 3 y + 1 = 0$ 和直线 $m : 3 x + 2 y - 1 = 0$ 的位置关系为（）

A、平行 B、垂直 C、重合 D、相交但不垂直

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4、如图在边长是2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为AB， $A_{1} C$ 的中点．证明： $E F ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ ．

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5、已知 $△ A B C$ 的顶点分别为 $A (2, 4)$ ， $B (7, - 1)$ ， $C (- 6, 1)$ ， $B C$ 中点 $D$ ，求 $B C$ 边的垂直平分线 $D E$ 的方程.

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6、已知直线 $l_{1}$ ： $x - 2 y + 3 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $2 x - y = 0$ ，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标为.

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7、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距为

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8、过点 $P (1, 0)$ 的直线与圆 $M : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、不存在

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9、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{B C_{1}} =$ （）

A、 $\vec{A B} - \vec{A C} + \vec{A A {}_{1}}$ B、 $- \vec{A B} - \vec{A C} + \vec{A A {}_{1}}$ C、 $\vec{B A} + \vec{A A_{1}} + \vec{A_{1} C_{1}}$ D、－ $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A A_{1}}$

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10、下列说法正确的是（）

A、任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底 B、空间的基底有且仅有一个 C、两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D、直线的方向向量有且仅有一个

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11、与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} =$ 1共渐近线，且过点 $(2 \sqrt{2}, \sqrt{6})$ 的双曲线的标准方程是（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} =$ 1 B、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} =$ 1 C、 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} =$ 1 D、 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} =$ 1

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12、过点 $(1, 2)$ ， $(5, 3)$ 的直线方程是（）

A、 $\frac{y - 2}{5 - 1} = \frac{x - 1}{3 - 1}$ B、 $\frac{y - 2}{3 - 2} = \frac{x - 1}{5 - 1}$ C、 $\frac{y - 1}{5 - 1} = \frac{x - 3}{2 - 3}$ D、 $\frac{x - 2}{5 - 2} = \frac{y - 3}{1 - 3}$

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13、已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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14、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，与向量 $\vec{A D_{1}}$ 相反的向量是（）

A、 $\vec{C_{1} B}$ B、 $\vec{B C_{1}}$ C、 $\vec{B_{1} A}$ D、 $\vec{A B_{1}}$

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15、直线 $x - y - 5 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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16、若数列 $\{a_{n}\} (1 \leq n \leq k, n \in N^{*}, k \in N^{*})$ 满足 $a_{n} \in \{0, 1\}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为 $k$ 项 $0 - 1$ 数列，由所有 $k$ 项 $0 - 1$ 数列组成的集合为 $M_{k}$ ．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 是 $20$ 项 $0 - 1$ 数列，当且仅当 $n = 4 m (m \in N^{*}, m \leq 5)$ 时， $a_{n} = 0$ ，求数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 的所有项的和；

(2)、已知 $\{a_{n}\} \in M_{k}$ ， $\{b_{n}\} \in M_{k}$ 且 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 是两个不同的数列，定义离散型随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{k} |a_{i} - b_{i}| (i = 1, 2, \dots, k)$ 其中 $k \in N^{*}$ ，且 $k \geq 3$ ．
（ⅰ）求 $P (X = 3)$ 取到最大值时 $k$ 的值；
（ⅱ）求随机变量 $X$ 的分布列，并证明：当 $k = 4050$ 时， $E (X) > 2025$ ．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为 $Γ : x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ．已知椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0), F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ， $O$ 为坐标原点，点 $E (- \sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 $△ O A B$ 面积的取值范围；

(3)、过 $C$ 的蒙日圆上一点 $M$ ，作 $C$ 的一条切线，与蒙日圆交于另一点 $N$ ，若直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率存在，设 $O M$ 与 $O N$ 的斜率分别为 $k_{O M} ， k_{O N}$ ，证明： $k_{O M} \cdot k_{O N}$ 为定值．

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18、已知函数 $f (x) = x e^{x} ， g (x) = - \frac{a}{2} x^{2} - a x (a \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、若 $h (x) = f (x) + g (x) ， x \in R$ ．
（ⅰ）讨论 $h (x)$ 的单调性；
（ⅱ）当 $0 < a < \frac{1}{e}$ 时，设 $h (x)$ 的极大值是 $σ (a)$ ，求证： $σ (a) \geq - \frac{2}{e^{2}}$ ．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D / / B C$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A C$ ， $B C = 2 A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $A C P$ ；

(2)、若三棱锥 $D - A C P$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求平面 $A C P$ 与平面 $C D P$ 夹角的余弦值．

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20、已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $\sqrt{3} cos C + sin C = \frac{\sqrt{3} b}{a}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 ， B C$ 边上的高为1，求 $△ A B C$ 的周长．

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