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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq x^{2} - x + 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D,$ $P A = P B = 3$ ， $A B = 2, ∠ A B C = 60 °, M$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、证明： $P M ⊥ A C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P M C$ 所成角的正弦值．

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3、某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为 $30 %$ 、 $40 %$ 、 $30 %$ .环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为 $0.02;$ 是中午投放的条件下，违规混投的概率为 $0.03;$ 是晚上投放的条件下，违规混投的概率为 $0.04.$ 现随机抽查一袋垃圾，求：

(1)、这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率；

(2)、这袋垃圾存在违规混投的概率；

(3)、若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率.

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x e^{x}, & x < 1 \\ \frac{ln x}{x}, & x \geq 1 \end{cases}$ ，函数 $g (x) = f (x) - m$ 恰有3个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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5、在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有种.

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6、设函数 $f (x) = {(3 x - 1)}^{9}$ ，且记 $f (x) = a_{10} x^{9} + a_{9} x^{8} + \dots + a_{2} x + a_{1}$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $- 1$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项和为512 C、数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 的前10项和为 $- 4^{9}$ D、数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n - 1}}\}$ 的前10项和为0

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7、已知离散型随机变量X的分布列为
X
2
4
6
8
P
$\frac{3}{10}$
a
$\frac{1}{10}$
$\frac{2}{5}$
则（）

A、 $a = \frac{1}{5}$ B、 $P (X > 4) = \frac{7}{10}$ C、 $P (2 < X < 8) = \frac{3}{10}$ D、 $P (X < 7) = \frac{3}{5}$

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} + \cos x - 3$ ，若对 $\forall x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ， $f (m x + 1) \leq f (x - 2)$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 5, - 1]$ B、 $[- 5, 0]$ C、 $[- 2, 1]$ D、 $[- 2, 0]$

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9、从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于2023的个数为（）

A、44 B、43 C、42 D、41

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10、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = e$ ，且 $f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，则不等式 $f (x + 1) > e^{x + 1}$ 的解集是（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0)$

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11、设 $A \subseteq B$ ， $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.6$ ，则 $P (A| B) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.2
0.4
0.3
0.1
若随机变量 $Y = |X - 1|$ ，则 $P (Y = 1) =$ （）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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13、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f^{'} (2)$ < $f^{'} (3)$ < $f (3) - f (2)$ B、 $f^{'} (3)$ < $f (3) - f (2)$ < $f^{'} (2)$ C、 $f^{'} (3)$ < $f^{'} (2)$ < $f (3) - f (2)$ D、 $f (3) - f (2)$ < $f^{'} (2)$ < $f^{'} (3)$

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14、 ${(y - 2 x)}^{8}$ 的展开式中的第6项的二项式系数是（）

A、 $C_{8}^{6}$ B、 $C_{8}^{5} {(- 2)}^{5}$ C、 $C_{8}^{5}$ D、 $C_{8}^{6} {(- 2)}^{6}$

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15、离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设 $P$ 为多面体 $Γ$ 的一个顶点，定义多面体 $Γ$ 在点 $P$ 处的离散曲率为 $φ_{P} = 1 - \frac{1}{2 π} (∠ Q_{1} P Q_{2} + ∠ Q_{2} P Q_{3} + \dots + ∠ Q_{k - 1} P Q_{k} + ∠ Q_{k} P Q_{1})$ ，其中 $Q_{i} (i = 1, 2, \dots, k, k \geq 3)$ 为多面体 $Γ$ 的所有与点 $P$ 相邻的顶点，且平面 $Q_{1} P Q_{2}$ ，平面 $Q_{2} P Q_{3}, \dots$ ，平面 $Q_{k - 1} P Q_{k}$ 和平面 $Q_{k} P Q_{1}$ 为多面体 $Γ$ 的所有以 $P$ 为公共点的面.已知三棱锥 $P - A B C$ 如图所示.

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)、若 $P A ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ B C, A C = B C = 8, M$ 为 $P C$ 中点，三棱锥 $P - A B C$ 在顶点 $C$ 处的离散曲率为 $\frac{3}{8}$ .求点 $C$ 到平面 $M A B$ 的距离；

(3)、在（2）的前提下，又知 $Q$ 为侧面 $P B C$ 内一动点，记二面角 $Q - A B - C$ 为 $α$ ，直线 $Q C$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $β$ ，若 $α = β$ ，求三棱锥 $Q A B C$ 体积的最大值.

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、经过右顶点 $A$ 的直线与椭圆的另一个交点为 $M$ ，点 $M$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $N$ （ $M$ 与 $N$ 不重合），直线 $A M, A N$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $P$ 和 $Q$ .若 $|M N| = |P Q|$ ，求线段 $M N$ 的长.

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17、如图，2025年中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地 $A B C D$ （包含边界和内部）， $B C$ 长为12米， $M N$ 为场地中间分割线，在距离 $N$ 点6米的 $E$ 处放置一只机器犬，在距离 $N$ 点3米的 $F$ 处放置一个机器人，机器犬行走的速度为机器人行走的速度的两倍，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点 $P$ （即 $|P E| = 2 |P F|$ ），则机器犬将被机器人捕获，点 $P$ 叫成功点.

(1)、请建立恰当的平面直角坐标系，求在这个矩形场地内（包含边界）成功点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、现准备在 $C$ 点处安装一台监测设备用来追踪机器犬被捕获的过程.若该设备发射的信号覆盖范围呈圆形，请问信号范围至少为多少米？

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18、已知点 $B (6, 1), C (3, 3), D (2, 5)$ ，

(1)、求 $△ B C D$ 的面积；

(2)、是否存在点 $A$ ，使四边形 $A B C D$ 为直角梯形？若存在，求出点 $A$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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19、若 $E, F$ 为平面上两个定点，则满足 $\vec{E M} \cdot \vec{E F}$ 为常数的动点 $M$ 的轨迹是直线，满足 $\vec{N E} \cdot \vec{N F} = 0$ 的动点 $N$ 的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点 $O, A, B, C$ 为空间中四个定点， $|\vec{O B}| = |\vec{O A}| = 3 |\vec{O C}| = 6$ ，且 $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ 两两的夹角都是 $60^{\circ}$ ，若动点 $P$ 满足 $\vec{O P} \cdot \vec{O C} = 12$ ，动点 $Q$ 满足 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} = 0$ ，则 $|\vec{P Q}|$ 的最小值是.

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20、随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左､右焦点， $A (3, 2 \sqrt{3})$ ，点 $M$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为2 B、若从 $F_{2}$ 射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $∠ F_{1} A M = ∠ F_{2} A M$ D、过双曲线左支上 $B$ 点作双曲线的切线交 $x$ 轴于 $N (- \frac{1}{2}, 0)$ ，则 $|B F_{1}| = 7 \sqrt{3}$

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X	2	4	6	8
P	$\frac{3}{10}$	a	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$

X	0	1	2	3
P	0.2	0.4	0.3	0.1