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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 3 a (a - 4) x + 2025$ ， $g (x) = e^{x} f (x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = g (x)$ 和 $y = e^{x}$ 的图象在公共点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的切线相同，证明：函数 $y = f (x)$ 的图象在 $(x_{0}, y_{0})$ 处的切线平行于 $x$ 轴．

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2、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形， $S A ⊥ A B$ ， $S B = S C$ ，若 $S A + A B = 1$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 外接球体积的最小值为．

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3、 ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为.

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $\{x |x \in R$ 且 $x \neq 0\}$ ， $f (x y) = y^{2} f (x) + x^{2} f (y)$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (2) = 8 f (\sqrt{2})$ C、 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点 D、 $f (x)$ 是偶函数

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = a_{2} = 4$ ，且 $\forall n \geq 2, n \in N^{*}$ 都有 $4 (S_{n} - S_{n - 1}) = S_{n + 1}$ ，则（）

A、数列 $\{S_{n}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 C、 $a_{6} = 32$ D、数列 $\{{log}_{2} a_{n}\}$ 的前10项和为56

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6、针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行调查，调查样本中女生人数是男生人数的 $\frac{1}{2}$ ，男生追星人数占男生人数的 $\frac{1}{6}$ ，女生追星的人数占女生人数的 $\frac{2}{3}$ ．若根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，可以推断追星和性别有关，则调查样本中男生人数可以是（）
（参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，临界值 $x_{0.05} = 3.841$ ）

A、10 B、11 C、12 D、18

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7、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + a x, x \leq 1 \\ a x - 1, x > 1 \end{array}$ 有两个极值点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $cos A = \frac{4}{5}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a = \frac{7}{5}$ B、 $C$ 是钝角 C、 $c = \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{5}$ D、 $S = \frac{36 + 9 \sqrt{3}}{25}$

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9、若 $a > b > 1$ ， $0 < c < 1$ ，则

A、 $a^{c} < b^{c}$ B、 $a b^{c} < b a^{c}$ C、 $a \log_{b} c < b \log_{a} c$ D、 $\log_{a} c < \log_{b} c$

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10、设平面 $α$ 与长方体的六个面的夹角分别为 $θ_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 6)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} {cos}^{2} θ_{i}$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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11、某学校有 $A$ 、 $B$ 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去 $A$ 餐厅，那么第2天去 $A$ 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去 $A$ 餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）

A、0.7 B、0.6 C、0.5 D、0.4

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12、在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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13、设复数 $z = \sqrt{2} i$ ， $i$ 是虚数单位，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、2

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14、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = k P A$ ，点 $O$ ， $D$ 分别是 $A C$ ， $P C$ 的中点. $O P ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证： $O D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当 $k$ 取何值时， $O$ 在平面 $P B C$ 内的射影恰好为 $△ P B C$ 的重心？

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15、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} (b \cos C + c \cos B) = 2 a \sin A$

(1)、求锐角 $A$ 的大小；

(2)、在（1）的条件下，若 $\sin C = \cos C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16、如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为.

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17、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} = - 2$ ， $S_{7} = 14$ ，则 $a_{10} =$ .

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18、法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1}, A_{2}$ 的动点，点 $Q$ 是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（）

A、该椭圆的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 35$ B、存在点 $Q$ 使 $△ F_{1} Q F_{2}$ 的面积为25 C、使 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ 的点 $P$ 有四个 D、直线 $P A_{1}, P A_{2}$ 的斜率之积 $k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}} = - \frac{2}{5}$

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19、下列说法正确的是（）

A、若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 1)$ 为偶函数，则 $μ = \frac{1}{2}$ B、数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C、已知 $0 < P (M) < 1$ ， $0 < P (N) < 1$ ，若 $P (M| N) + P (\bar{M}) = 1$ ，则 $M$ ， $N$ 相互独立 D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.937$ 依据 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $X_{0.05} = 3.841$ ），可判断 $X$ 与 $Y$ 有关且犯错误的概率不超过0.05

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20、若关于 $x$ 的方程 $\log_{\frac{1}{3}} (a - 3^{x}) = x - 2$ 有解，则实数 $a$ 的最小值为

A、4 B、6 C、8 D、2

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