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相关试卷

1、甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为 $\frac{1}{5}$ ，设第 $i$ 天甲挑战的概率为 $p_{i}$ ．

(1)、求 $p_{2}$ ， $p_{3}$ ；

(2)、求证数列 $\{p_{i} - \frac{5}{6}\}$ 为等比数列，并求 $p_{i}$ ；

(3)、若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}$ ， $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ，则 $E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 天（即从第1天到第 $n$ 天）中甲挑战的天数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ ．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ 且 $a_{n + 1} = S_{n} + 2$ ．

(1)、求 $a_{2}$ ，及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，
①设 $T_{n} = \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + \frac{1}{d_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{d_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ），求 $T_{n}$ ；
②若 $\forall n \in N^{*}$ 都有不等式 $n \leq λ d_{n} + 5$ 成立，求 $λ$ 的取值范围．

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3、为了研究高中学生平时的数学成绩和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取 $100$ 名学生进行调查统计，数据如下：
整理数学错题习惯
数学成绩
合计
优秀
非优秀
有
$20$
$30$
$50$
没有
$10$
$40$
$50$
合计
$30$
$70$
$100$

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；

(2)、在调查统计有整理数学错题集习惯的 $50$ 名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取 $5$ 人组建研讨小组，再从 $5$ 人研讨小组中随机抽取 $3$ 人进行访谈，用 $X$ 表示访谈时成绩优秀的人数，求 $X$ 的分布列、数学期望及方差．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq k)$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$k$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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4、函数 $f (x) = - 2 x^{α} - x$ ，（ $α \in R$ ， $α \neq 0$ ）的图象在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 平行．

(1)、求 $α$ 的值和切线 $l$ 的方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{2}$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{2^{n + 1}}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为；若不等式 $a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n} < m$ （ $m \in N$ ）恒成立，则 $m$ 的最小值为．

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6、将一个边长为 $3 m$ 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为 $m^{3}$ ．

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7、从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是．（用数字作答）

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8、甲、乙两人进行球类比赛，有二种赛制，赛制一：比赛采用5局3胜，先赢3局者获胜，比赛结束．记采用赛制一甲获胜为事件 $A$ ，甲获胜时比赛的局数为 $X$ ．赛制二：比赛赛满5局，赢的局数多者获胜，比赛结束．记采用赛制二甲获胜为事件 $B$ ，甲获胜时甲赢的局数为 $Y$ ．已知每局比赛甲赢的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙赢的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且每局比赛结果相互独立．则（）

A、 $P (A) = \frac{19}{81}$ B、 $E (X) = \frac{73}{81}$ C、 $P (B) = \frac{17}{81}$ D、 $E (Y) = \frac{55}{81}$

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9、如图，取正六边形 $A B C D E F$ 各边的中点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ ， $E_{1}$ ， $F_{1}$ ，依次连线得第2个正六边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ ；然后再取正六边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 各边的中点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ ， $E_{2}$ ， $F_{2}$ ，依次连线得第3个正六边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} E_{2} F_{2}$ ，依此方法一直继续下去．已知正六边形 $A B C D E F$ 边长为4，记第 $n$ 个正六边形的边长为 $a_{n}$ ，面积为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{3} = 3$ B、数列 $\{S_{n}\}$ 是首项为 $24 \sqrt{3}$ ，公比为 $\frac{3}{4}$ 的等比数列 C、如果这个作图过程可以一直继续下去，则所有正六边形的面积之和不断增加且趋近于无限大 D、如果这个作图过程可以一直继续下去，则所有正六边形的周长之和趋近于 $48 (2 + \sqrt{3})$

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10、为了研究变量 $y$ 关于变量 $x$ 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
$x$
1
2
3
4
5
$y$
0.4
0.8
1
1.2
1.6
若经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.16$ ，（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，则（）

A、变量 $x$ 和变量 $y$ 负相关 B、 $\hat{b} = 0.28$ C、当 $x = 4$ 时，相应的残差为 $- 0.08$ D、去掉样本点 $(3, 1)$ 后，变量 $x$ 和变量 $y$ 的样本相关系数 $r$ 会变小

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11、设函数 $f (x) = 2 x e^{x} - a x + a$ ，其中 $a < 1$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{e}, 1)$ B、 $[- \frac{1}{e}, 0)$ C、 $[\frac{4}{3 e^{2}}, 1)$ D、 $[\frac{4}{3 e^{2}}, \frac{1}{e})$

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12、银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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13、 $(x + y) {(x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数是（）

A、10 B、5 C、 $- 5$ D、 $- 10$

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14、对某地区数学考试成绩的数据分析，学生成绩 $X$ 服从正态分布 $N (90, σ^{2})$ ， $P (X < 60) = 0.02$ ，则 $P (60 < X \leq 120) =$ （）

A、0.98 B、0.96 C、0.52 D、0.48

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $f^{'} (2) > f (3) - f (2) > f^{'} (3)$ B、 $f^{'} (3) > f^{'} (2) > f (3) - f (2)$ C、 $f^{'} (3) > f (3) - f (2) > f^{'} (2)$ D、 $f^{'} (2) > f^{'} (3) > f (3) - f (2)$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \{\begin{array}{l} 2, n 为奇数 \\ n + 1, n 为偶数 \end{array}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项和为（）

A、35 B、40 C、45 D、50

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = cos \frac{n π}{2}$ ，则 $a_{5}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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18、三个数 $a = \frac{2}{e^{2}}$ ， $b = \frac{\ln 2}{2}$ ， $c = \frac{\ln 3}{3}$ 的大小顺序为（　　）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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19、 $C_{2025}^{0} - 2 C_{2025}^{1} + 2^{2} C_{2025}^{2} - 2^{3} C_{2025}^{3} + \dots + 2^{2024} C_{2025}^{2024} - 2^{2025} C_{2025}^{2025}$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、22024

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20、从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（）

A、 $18$ 种 B、 $24$ 种 C、 $36$ 种 D、 $48$ 种

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整理数学错题习惯	数学成绩		合计
整理数学错题习惯	优秀	非优秀	合计
有	$20$	$30$	$50$
没有	$10$	$40$	$50$
合计	$30$	$70$	$100$

$P (χ^{2} \geq k)$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

$x$	1	2	3	4	5
$y$	0.4	0.8	1	1.2	1.6