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相关试卷

1、锐角 $△ A B C$ 中， $C = 2 B, B C$ 边上的高为4，则 $△ A B C$ 面积的取值范围为．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ .若曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与其在点 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线相互垂直，则 $x_{1} - x_{2}$ 的一个取值为.

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3、设 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，若复数 $z$ 满足 $z^{2} + z + 3 = 0$ ，则 $z + \bar{z} =$ ．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} - x$ ，设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、存在实数 $a$ ，使得 $x_{2} - x_{1} > 1$ B、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{1} > 3$ C、存在实数 $a$ ，使得 $x_{3} - x_{2} > 3$ D、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{2} > 1$

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5、知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 8^{x}}{x \cdot a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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7、一个箱子里有5个小球，分别以 $1 ~ 5$ 标号，（小球除标号外完全相同），现在有放回的抽取，观察抽取小球的标号，记 $p (n, m) (n \geq 1, 1 \leq m \leq 5)$ 表示在第 $n$ 次抽取后，前 $n$ 次的结果中出现 $m$ 种标号的概率，规定 $p (n, 0) = 0 (n \in N^{*})$ ， $p (n, m) = 0 (n < m)$ .记 $X_{n}$ 为第 $n$ 次抽取后出现的标号种类数（例如：抽取三次，小球标号分别是 $2$ ， $4$ ， $4$ ，则只有“2”“4”两种标号，于是 $n = 3$ ， $m = 2$ ， $X_{3} = 2$ ）

(1)、求 $p (1, 1)$ ， $p (2, 1)$ ， $p (2, 2)$ 及 $p (n, 1) (n \in N^{+})$ ；

(2)、求 $p (n, 2) (n \geq 2)$ ；

(3)、求 $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n})$ （用含有 $n$ 的式子表示）.

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8、已知函数 $f (x) = 2 x + \frac{a}{e^{x}} - 1$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并求出单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $f (x) \geq - a + 3$ 恒成立.试求出 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 2$ ， $x_{1} = 1$ ，且 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ ，证明： $\frac{1}{f (x_{1}) \cdot f (x_{2})} + \frac{1}{f (x_{2}) \cdot f (x_{3})} + \dots + \frac{1}{f (x_{n + 1}) \cdot f (x_{n})}$ $< \frac{e}{4}$ .

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9、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，且过抛物线焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，弦长 $A B$ 最小值为4

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、过点 $A$ 作直线 $A C$ 交抛物线于点 $C$ ，且直线 $A C$ 过定点 $P (3, 0)$ ，连接直线 $C F$ 并交抛物线于点 $D$ ，请问直线 $B D$ 是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由.

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10、已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} (\cos x - \sin x), 2 \cos x)$ ， $\vec{n} = (\cos x + \sin x, \sin x)$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $f (B) = 1$ ， $b = 2$ 且 $△ A B C$ 的内切圆半径为1，求 $△ A B C$ 的面积.

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11、在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $A B = 10$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $\cos ∠ B D C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，当三棱锥 $A - B C D$ 的外接球体积取得最小值时，记 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $α$ ，则 $\sin α =$ .

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12、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x - y) = f (x) - f (y) - 1$ 且 $f (x)$ 是一个增函数，请写出满足条件的一个函数 $f (x) =$ .（写出一个即可）

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13、若 ${(a x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则展开式中 $x^{3}$ 项的系数是（用数字作答）

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14、已知曲线 $C : y^{2} = x^{3} - x + 4$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称 B、曲线 $C$ 与 $y = \sqrt{2 x}$ 的图象有且仅有一个交点 C、当 $x < 0$ 时，曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离均不超过 $\sqrt{5}$ D、曲线 $C$ 与直线 $x = 1$ ， $x = 2$ 围成图形的面积小于 $2 + \sqrt{10}$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \dots + \frac{a_{n}}{n} = \frac{n a_{n + 1}}{2 (n + 1)}$ ，令 $b_{n} = \frac{1}{1012} (\frac{a_{n}}{n} - 1)$ ，则（）

A、 $a_{10} = 100$ B、数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列 C、 $b_{2024}$ 为整数 D、数列 $\{b_{n}\}$ 的前2025项和为2025

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16、下列关于概率统计的说法，正确的是（）

A、若随机变量 $X \sim B (5, \frac{2}{5})$ ，则 $E (X) = 2$ ， $D (X) = \frac{6}{5}$ B、若随机变量 $X \sim N (1, σ_{1}^{2})$ ； $Y \sim N (0, σ_{2}^{2})$ ，则 $P (X > 1) > P (Y > 1)$ C、若一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 的对应样本点都在直线 $y = - x + 1$ 上，则这组样本数据的相关系数为 $- 1$ D、设关于分类变量 $X$ 与 $Y$ 的独立性检验的零假设为 $H_{0} : X$ 与 $Y$ 无关，根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 4.2$ ，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $x_{0.05} = 3.841$ ），没有充分证据推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 与 $Y$ 无关.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{- a x - a + 1}{e^{x}} + x$ ，若0是 $f (x)$ 极小值点，则 $a$ 取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1)$

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆上一点，射线 $P A$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线，其与 $x$ 轴的交点为点 $A$ ， $∠ P F_{1} F_{2}$ 的角平分线与直线 $P A$ 交于点 $B$ ，若 $\vec{P B} = \frac{3}{4} \vec{P A}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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19、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 和 $△ P B C$ 均是边长为2的等边三角形，若 $P B ⊥ A B$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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20、某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（）种．

A、7 B、10 C、14 D、16

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