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相关试卷

1、某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值与样本成绩的平均数；

(2)、用分层随机抽样的方法从 $[70, 80)$ ， $[90, 100]$ 两个区间共抽取出8名学生，再从这8名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间 $[70, 80)$ 的概率；

(3)、学校决定从知识竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{5}$ ， $p$ ，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是 $\frac{41}{50}$ ，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．

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2、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, A A_{1} = A_{1} C_{1} = C_{1} C = 2$ ， $A C = 4, A_{1} B = 2 \sqrt{2}, A B = B C$ ．

(1)、求证： $A_{1} B ⊥ A C_{1}$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B C C_{1}$ 夹角的余弦值．

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3、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马” $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 2 A B = 2 P A = 4$ ， $F$ 是棱 $B C$ 的中点，点 $E$ 是棱 $A B$ 上的动点，则当 $△ P E F$ 的周长最小时，三棱锥 $P - A E F$ 外接球的表面积为．

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4、若“ $\forall α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{1}{{sin}^{2} α} + \frac{4}{{cos}^{2} α} \geq m$ 恒成立”为真命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

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5、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{23}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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6、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别是 $A A_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（）

A、过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B、存在点P，使得 $C_{1} P ⊥$ 平面 $B E F$ C、若点P到直线BB₁与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分 D、若直线D₁P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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7、已知抛物线 $E : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，顶点为 $O$ ，过点 $F$ 作直线 $l_{1}$ ，交抛物线 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上方，分别过点 $A$ ， $B$ 作直线 $l_{2} : x = - 2$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l_{2}$ 是抛物线 $E$ 的准线 B、若直线 $l_{1}$ 的斜率为2，则 $|A B| = 10$ C、 $△ A B O$ 面积的最小值为4 D、 $|A A_{1}| + 4 |B B_{1}|$ 的最小值为18

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8、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[1, 2]$ ，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[1, \frac{3}{2}]$ C、 $[1, 3]$ D、 $[\frac{1}{2}, 2]$

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9、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且函数 $y = f (x)$ 图象关于 $x = 2$ 对称．当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = x$ ，则 $f (11) =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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10、已知直线 $l : m x + y - m + 1 = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11、设 $cos (α + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $sin (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{14}}{4}$

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12、若复数 $z = 1 - i^{2025}$ ，则 $|\frac{\bar{z}}{z}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 2)$ ，对任意 $x, y \in (- 2, 2)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ ，且当 $x \in$ $(0, 2)$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (- 1) = - 2$ ， $f (x) \leq t^{2} + a t - 1$ 对任意的 $x \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 2, 2]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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14、如图， $△ O A B$ 是边长为2的正三角形，记 $△ O A B$ 位于直线 $x = t (0 \leq t \leq 2)$ 左侧的图形的面积为 $f (t)$ .

(1)、试求函数 $y = f (t)$ 的解析式；

(2)、有同学发现，函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数 $y = f (t)$ 的图象关于点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 成中心对称图形.

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15、设函数 $f (x) = 2^{x} + k \cdot 2^{- x}$

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，证明： $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 单调递增；

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16、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 的图象过点 $(0, - 1)$ 和 $(3, 6)$ ，求 $f (x)$ 在 $R$ 上的值域；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a}{3}$ ，求 $a$ 的值.

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17、求下列各式的值：

(1)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a + a^{- 1} + 2}{a^{2} + a^{- 2} - 2}$ 的值；

(2)、 ${(lg 2)}^{2} + lg 2 \cdot lg 50 + lg 25$ ；

(3)、若 $lg 2 = a$ ， $3^{b} = 10$ ，用 $a$ ， $b$ 表示 ${log}_{12} 45$ .

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ 的定义域为 $A$ ，集合 $B = {x | 1 - a < x < 1 + a}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的充分条件，求a的取值范围.

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19、若“ $\forall x \in [0, 2]$ ， $2^{x - 1} + 2^{- x} - m < 0$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为.

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20、若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m + 1}$ 是偶函数， $m =$ .

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