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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + λ e^{2 x}}$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $f (x)$ 是偶函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递增 B、当 $λ = 1$ 时， $f (x)$ 是奇函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递减 C、当 $λ = - 1$ 时， $f (x)$ 是偶函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递减 D、当 $λ = - 1$ 时， $f (x)$ 是奇函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递增

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2、将函数 $y = sin 2 x$ 的图象向左平移 $φ$ 个单位后得到函数 $y = cos 2 x$ 的图象，则 $φ$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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3、直线 $x = 2$ 被圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 截得的弦长为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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4、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{7}$ D、7

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5、 $\frac{1}{1 + i} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$

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6、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 3}, B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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7、设 $n \in N^{*}$ ，已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数，且 $a_{1} = 1$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项所构成的集合为 $A_{n} = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ ，对于任意正整数n，从集合 $A_{n}$ 中任取不同的若干项(取出的项数大于等于1，如果项数是1，运算结果是它本身)，如果这些项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值所构成的正整数集合为 $B_{n}$ ，且 $B_{n} = \{1, 2, \dots, a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}\}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为完美数列.

(1)、分别判断数列 $a_{n} = n$ 和 $b_{n} = n^{2}$ 是否为完美数列，不需要说明理由；

(2)、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 是完美数列，求 $\{a_{n}\}$ 公差的所有可能取值；

(3)、若从集合 $A_{n}$ 中任取不同的若干项之间进行加减法运算后所得的数的绝对值互不相同，且 $\{a_{n}\}$ 为完美数列.证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} + 1} < 1$

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > b > 0)$ 的短轴长为2，且过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，设点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆在第一象限内一点．

(1)、求椭圆方程；

(2)、设椭圆的左顶点为A，下顶点为 $B$ ，线段 $A P$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，线段 $B P$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，若 $△ P A B$ 的面积是 $△ P C D$ 的6倍，求 $P$ 点的坐标；

(3)、点 $P$ 关于原点的对称点为 $Q$ ，点 $R (x_{0}, 0)$ ，点 $T$ 为 $P R$ 中点， $Q T$ 的延长线交椭圆于点S，当 $∠ Q P S$ 最大时，求直线 $P Q$ 方程．

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} + a ln (x + 1)$ .

(1)、当 $a = - 4$ 时，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、若 $f (x)$ 存在唯一极值点 $x_{0}$ ，证明： $f (x_{0}) + x_{0}^{2} \leq 0$ .

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10、如图，已知四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $E$ 为以 $B C$ 为直径的半圆弧上一点，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $B C E$ ， $O$ 为 $B C$ 的中点， $M$ 为 $C E$ 的中点， $B E = A B = A D = D C = 3$ ， $B C = 6$ .

(1)、求证 $D M / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $D C E$ 的夹角的余弦值.

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11、某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表：

新能源汽车 $A$ 款
新能源汽车 $B$ 款
总计
男性
100
20
$x$
女性
50
30
80
总计
$y$
50
200

(1)、求 $x, y$ ；

(2)、根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？

(3)、假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了 $B$ 款车的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq k)$
0.10
0.05
0.010
0.005
$k$
2.706
3.841
6.635
7.879

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12、高斯取整函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过x的最大整数，例如， $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ．有如下四个结论：
①若 $x \in (0, 1)$ ，则 $f (- x) + \frac{1}{2} = - (f (x) + \frac{1}{2})$ ；
②函数 $f (x) = [x]$ 与函数 $h (x) = x - 1$ 无公共点；
③ $\sum_{k = 1}^{23} f (- \frac{k}{7}) + \sum_{k = 1}^{23} f (\frac{k}{7}) = - 23$ ；
④所有满足 $f (m) = f (n) (m, n \in [0, \frac{10}{3}])$ 的点 $(m, n)$ 组成区域的面积为 $\frac{28}{9}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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13、已知 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ .

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14、在 ${(\frac{2}{x^{2}} - x)}^{9}$ 的展开式中，常数项为.

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15、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C_{1} Q} = λ \vec{C_{1} B_{1}} + μ \vec{C_{1} C}$ ， $(λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ B、若 $D_{1} Q //$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点 $Q$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ C、若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则四面体 $D P Q A_{1}$ 的体积为定值 D、若 $M$ 为正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 的中心，则三棱锥 $M - A B D$ 外接球的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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16、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $△ A B C$ 的面积记为 $S$ ，若 $a = 2, (2 b - c) \cos A = a \cos C$ ，则（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 的外接圆周长为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $S$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ D、若 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，且 $C M = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $S = \sqrt{3}$

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17、下列命题为假命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b > 0$ 且 $c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$ C、不等式 $k x^{2} + k x - 1 < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，则 $- 4 < k < 0$ D、“ $x < 5$ ”是“ $\frac{3}{x - 1} \geq 1$ ”的一个必要不充分条件

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18、已知函数 $f (x) = e^{x - 4} - e^{4 - x} + x$ ，则满足 $f (2 m - 2) + f (m + 1) > 8$ 的 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, 7)$

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 若直线 $3 x + 4 y = 0$ 与 $C$ 没有公共点，则 $C$ 的离心率的范围为（）

A、 $(1, \frac{5}{4})$ B、 $(0, \frac{5}{4})$ C、 $(1, \frac{5}{4}]$ D、 $[\frac{5}{4}, + \infty)$

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20、下列说法错误的是（）

A、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $X ~ N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.2$ ； B、若事件 $M, N$ 相互独立， $P (M) = \frac{1}{2}, P (N) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (M \cup N) = \frac{5}{6}$ ； C、对具有线性相关关系的变量 $x, y$ ，利用最小二乘法得到的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.4 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m, 1.8)$ ，则实数 $m$ 的值是 $- 3$ ； D、若决定系数 $R^{2}$ 越大，则两个变量的相关性越强.

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	新能源汽车 $A$ 款	新能源汽车 $B$ 款	总计
男性	100	20	$x$
女性	50	30	80
总计	$y$	50	200

$P (χ^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.010	0.005
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879