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相关试卷

1、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，已知函数 $f (x) = x - [x], x \in R$ ，则对函数 $f (x)$ 描述正确的是

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $[0, 1)$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 不是周期函数

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2、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x, 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{x^{2} + 2}{x}, 3 < x \leq 4 \end{array}$ ， $g (x) = a x + 1$ ，若任给 $x_{1} \in [2, 4]$ ，存在 $x_{2} \in [- 2, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{7}{2}] \cup [\frac{7}{4}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{7}{4}] \cup [\frac{7}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{3}{4}] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} + \ln (x + 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = e^{x} - \cos x$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $g (x) > 0$ ；

(3)、若 ${(e}^{x} + a \cos x) f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的值．

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4、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上，下顶点分别为 $A, B$ ，且短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设直线 $y = - 2$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，点 $M$ 为椭圆 $E$ 上不同于顶点的一点，且直线 $B M$ 与直线 $y = - 2$ 交于点 $P$ ， AM与直线 $y = - 2$ 交于点 $N$ ，判断是否存在点 $M$ ，使得 $∠ P A N = ∠ Q M N$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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5、某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）

车型	低收入群体（收入<20万元/年）		中收入群体（收入20万元-50万元/年）		高收入群体（收入>50万元/年）
	愿意	不愿意	愿意	不愿意	愿意	不愿意
EV	50	20	40	40	30	20
PHEV	25	45	40	40	35	15

假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率.

(1)、在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p；

(2)、从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)、若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为

p_{A}

，试比较p和

p_{A}

的大小.

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6、在 $△ A B C$ 中， $b \sin A = a \sin (\frac{π}{3} - B)$ .

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{3}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $△ A B C$ 的周长为 $8+4 \sqrt{3}$ ；
条件②： $\cos A = \frac{4}{5}$ ；
条件③： $b = 6$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 $0$ 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = A D = 4$ ， E是 $P C$ 的中点，平面 $A B E$ 与线段 $P D$ 交于点F.

(1)、求证： $A B // F E$ ；

(2)、若 $C F = 2 \sqrt{5}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $B C F$ 所成角的正弦值.

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8、在平面内，到两个定点 $A (- a, 0)$ 和 $B (a, 0) (a > 0)$ 的距离之积为常数 $a^{2}$ 的点的轨迹是一条优美的曲线，设点P在轨迹曲线C上，有以下结论：
①曲线C关于原点对称；
②当 $a = 1$ 时，P点的横坐标不超过 $\sqrt{2}$ ；
③ $△ P A B$ 的面积可以等于 $\frac{3}{4} a^{2}$ ；
④点P到原点距离 $|O P| \leq \sqrt{2} a$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的首项均为－3，且 $a_{3} = 1$ ， $a_{4} = 8 b_{4}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为，数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的最大值为.

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10、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) + \cos 2 x, | φ | < \frac{π}{2}$ 且 $f (0) = \frac{1}{2}$ ，则 $φ =$ ，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = m$ 恰有一个公共点，写出一个满足条件的 $m$ 值.

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11、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F到其准线的距离为；抛物线上一点M，且 $| M F | = 7$ ，则M点的横坐标为.

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12、已知函数 $f (x) = |\ln |x|| - k x + 1$ ，给出下列四个结论：
① $\exists k < 1$ ，使得 $f (x)$ 为偶函数；
② $\exists k > 1$ ，使得 $f (x)$ 存在最小值；
③ $\forall k > 1$ ， $f (x)$ 在 $（ 0, + \infty ）$ 上单调递减；
④ $\exists k > 0$ ，使得 $f (x)$ 有三个零点；
其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13、在 $△ A B C$ 中， $A C = A B = 2$ ， $∠ A = 120^{\circ}$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $\vec{A C} \cdot \vec{A D} = 2$ ，则 $|\vec{B D}| + |\vec{A D}|$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $1 + \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{10}$

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14、长度为4的线段 $A B$ 的两个端点分别在 $x$ 轴及 $y$ 轴上运动，则线段 $A B$ 的中点到直线 $3 x - 4 y + 20 =0$ 距离的最大值为（）

A、 $1$ B、3 C、4 D、6

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15、中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面 $A B C D$ 为矩形，侧棱 $E F / /$ 平面 $A B C D$ ，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下： $A B = 4, A D = 2, E F = 2$ ，且各侧面与底面ABCD所成角均为 $\frac{π}{4}$ ，则该“刍甍”的体积为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、8 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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17、已知 $P (m, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 为角 $α$ 终边上一点，“ $m = \frac{1}{2}$ ”是“ $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、在 ${(x - \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项为（）

A、6 B、 $- 6$ C、24 D、 $- 24$

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19、在复平面内，复数 $z_{1} = 1 - i$ ， $z_{2} = 2 + i$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2}$ 对应的点的坐标是（）

A、 $(3, - 2)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(1, - 3)$ D、 $(3, - 1)$

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20、已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $B = {x | x - 1 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 $\{x | x > 1\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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