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相关试卷

1、 ${(2 + \sqrt{x})}^{4}$ 的展开式中常数项是（　　）

A、8 B、16 C、24 D、32

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2、已知点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，且 $C$ 的长轴长为短轴长的2倍.

(1)、求 $C$ 的方程.

(2)、若 $A$ ， $B$ 是 $C$ 上关于原点对称的两个点， $E$ 为 $C$ 上一动点，直线 $A E$ ， $B E$ 的斜率均存在，且分别设为 $k_{A E}$ ， $k_{B E}$ ，判断 $k_{A E} k_{B E}$ 是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

(3)、已知过点 $(- 1, 0)$ ，且斜率不为0的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，弦 $M N$ 的中点为 $D$ ，直线 $O D$ （ $O$ 为坐标原点）与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，求四边形 $M P N Q$ 的面积的取值范围.

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3、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，不等式 $x^{x} - x ln x + m \leq 0$ 有解，则 $m$ 的取值范围是．

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4、某社区为了解该社区老年人的运动情况，在该社区随机抽取70名老年人，对他们一周的运动时长（单位：小时）进行统计，数据如下表，则该组数据的中位数为小时，平均数为小时．
一周的运动时长
3
4
5
6
7
8
9
人数
15
10
8
10
10
8
9

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5、某圆锥的底面半径为3，高为 $\sqrt{7}$ ，则该圆锥的侧面积为．

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6、已知 $F$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 x$ 的焦点， $A$ ， $B$ 是 $C$ 上的两个动点， $D (1, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的准线方程为 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $|A D| + |A F|$ 的最小值为 $\frac{5}{4}$ C、若 $A$ ， $B$ ， $F$ 三点共线，则 $|A B|$ 的最小值为2 D、若 $△ A B O$ （ $O$ 为坐标原点）为正三角形，则 $|A B| = 4 \sqrt{3}$

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7、把正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成二面角 $B - A C - D$ ，若 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点均在球 $O$ 的球面上，球 $O$ 的表面积为 $16 π$ ，且 $B D = 2 \sqrt{3}$ ，则二面角 $B - A C - D$ 的大小为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$

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8、设 $t = \frac{π}{24}$ ，则 $\frac{sin 3 t + sin 5 t}{cos t} =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量，则“ $|\vec{a} + 3 \vec{b}| > |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ”是“ $0 \leq 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 < \frac{2 π}{3}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知集合 $A = \{x | 1 - x > 0\}, B = {x ∣ x^{2} + y^{2} = 4,$ 且 $y > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, \sqrt{3})$ B、 $[- \sqrt{3}, 1)$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(- \sqrt{3}, 1)$

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11、复数 $\frac{2}{i} =$ （）

A、2 B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、 $- 2 i$

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12、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .求证： $\frac{1}{15} \leq T_{n} < \frac{1}{6}$ .

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13、下列说法正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(1, 2, 2)$ B、直线 $(3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(- 3, - 3)$ C、直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 的方向向量可以是 $\vec{n} = (4, - 3)$ D、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + x \vec{O B} + y \vec{O C} (x, y \in R)$ ，其中P为平面 $A B C$ 上的一点， $O$ 是平面 $A B C$ 外一点，则有 $x + y = \frac{2}{3}$

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为6，离心率 $\sqrt{3}$ ．过点 $F_{2}$ 且倾斜角为 $30 °$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{16 \sqrt{3}}{5}$

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15、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A C$ 和 $B D$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{M D_{1}}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ （D和A重复了）

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16、若 $△ A B C$ 内一点 $P$ 满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = θ$ ，则称点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $θ$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡角．如图，已知 $△ A B C$ 中， $B C = a, A C = b, A B = c$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $θ$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡角．

(1)、若 $b = c$ ，且满足 $\frac{P B}{P A} = \sqrt{3}$ ，
①求 $∠ A B C$ 的大小；
②若 $\frac{P C}{P B} = \sqrt{3}$ ，求布洛卡角 $θ$ 的正切值；

(2)、若 $P B$ 平分 $∠ A B C$ ，试问是否存在常实数 $t$ ，使得 $b^{2} = t a c$ ，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．

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17、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，且 $B_{1} C ⊥ A B$ ，点 $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证：直线 $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $B B_{1} = 3$ ，求直线 $C D$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值．

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18、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍， $E F // A B$ ，侧面 $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 为等边三角形，且与底面所成角相等；若 $A B = A D = 4$ ， $E$ 到底面 $A B C D$ 的距离为 $\sqrt{11}$ ，则该刍甍的体积为．

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19、已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ .

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20、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\cos (α + β) = \frac{3}{5}$ ， $\tan α \tan β = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $\sin α \sin β = \frac{4}{5}$ B、 $cos (α - β) = 1$ C、 $\tan α + \tan β = 4$ D、 $\sin α \cos β = \frac{2}{5}$

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一周的运动时长	3	4	5	6	7	8	9
人数	15	10	8	10	10	8	9