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相关试卷

1、已知点 $A (0, - \sqrt{3})$ ， $B (0, \sqrt{3})$ ，曲线 $E$ 上的点 $M$ 与 $A, B$ 两点的连线的斜率分别为 $k_{A M}$ 和 $k_{B M}$ ，且 $k_{A M} \cdot k_{B M} = λ$ ，在下列条件中选择一个，并回答问题（1）和（2）．
条件①： $λ = \frac{3}{4}$ ；条件②： $λ = - \frac{3}{4}$ ．
问题：

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、是否存在一条直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，以 $P Q$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ．若存在，求出 $\frac{1}{| O P |^{2}} + \frac{1}{| O Q |^{2}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $D C ∥ A B$ ， $P A = A D = D C = 1, A B = 2$ ， $E$ 为棱 $P B$ 上一点．

(1)、若 $E$ 是 $P B$ 的中点，求证：直线 $C E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $\vec{P E} = λ \vec{P B}$ ，且二面角 $E - A C - B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求三棱锥 $E - A B C$ 的体积

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3、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x \leq 0 \\ - x^{2} + x + \frac{1}{4}, x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = b$ 有且仅有1个实数根，则实数 $b$ 的取值范围是．

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4、已知抛物线 $C :$ $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，直线 $m$ 过 $D$ 且交 $C$ 于不同的 $A, B$ 两点， $B$ 在线段 $A D$ 上，点 $P$ 为 $A$ 在 $l$ 上的射影．线段 $P F$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，下列命题正确的是（）

A、对于任意直线 $m$ ，均有 $A E ⊥ P F$ B、不存在直线 $m$ ，满足 $\vec{B F} = 2 \vec{E B}$ C、对于任意直线 $m$ ，直线 $A E$ 与抛物线 $C$ 相切 D、存在直线 $m$ ，使 $|A F| + |B F| = 2 |D F|$

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5、已知当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a \ln x + b x^{2} + 3$ 取得最大值2，则 $f (3) =$ （）

A、 $2 \ln 3 + 2$ B、 $- \frac{16}{3}$ C、 $2 \ln 3 - 6$ D、 $- 4$

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6、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{7} > 0$ ， $a_{6} + a_{9} < 0$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 B、 $a_{8} > 0$ C、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{7}$ D、 $S_{14} > 0$

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7、某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则 $P (B| A)$ 等于（）

A、 $\frac{4}{11}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{43}{55}$ D、 $\frac{4}{7}$

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8、已知集合 $A = \{a - 2, a^{2} + 4 a, 12\}$ ，且 $- 3 \in A$ ，则 $a$ 等于（）

A、 $- 3$ 或 $- 1$ B、 $- 1$ C、 $- 3$ D、 $3$

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9、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，已知 $a_{7} < 0, a_{7} + a_{8} > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $S_{n}$ 的最小值为 $S_{7}$ B、满足 $S_{n} > 0$ 的最小 $n$ 值是14 C、满足 $S_{n} < 0$ 的最大 $n$ 值是14 D、数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 的最小项为第8项

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10、已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则 $2 \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}}$ 的最小值为.

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11、已知直线 $l : 2 m x + (m + 1) y + 3 m - 1 = 0 (m \in R)$ ，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ .

(1)、求证：对于任意实数 $m$ ，直线 $l$ 过定点 $P$ ，并求出点 $P$ 坐标；

(2)、当 $m = 1$ 时，求直线 $l$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长.

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12、已知 $△ A B C$ 的顶点分别为 $A (1, 3)$ ， $B (- 1, - 3)$ ， $C (- 3, 2)$ ，求：

(1)、直线 $A B$ 的方程；

(2)、 $A B$ 边上的高所在直线的方程.

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13、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a \cdot 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 的单调性并证明.

(3)、求 $f (x)$ 的值域.

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14、函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，若存在正实数k，对任意的 $x \in D$ ，总有 $| f (x) - f (- x) | \leq k$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .

(1)、分别判断函数 $f (x) = 2024$ 与 $g (x) = x$ 是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由；

(2)、已知 $y = f (x)$ 为二次函数，且具有性质 $P (2)$ ，判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、已知 $a > 1$ ， k为给定的正实数，若函数 $f (x) = \log_{2} (4^{x} + a) - x$ 具有性质 $P (k)$ ，求a的取值范围.

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15、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) cos x + \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $a f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6}) - f (\frac{1}{2} x + \frac{π}{12}) \geq 2$ 对任意的 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、已知函数 $g (x) = f (\frac{π}{8} x - \frac{π}{3})$ ，记方程 $g (x) = \frac{1}{3}$ 在区间 $[0, 21]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，求 $x_{3} + 2 x_{4} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ 的值.

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16、设函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}} - 1$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求方程 $| f (x) | = \frac{1}{2}$ 的实数解；

(2)、当 $a = - 1$ 时，
（ⅰ）存在 $t \in [1, 2]$ ，使不等式 $f (t^{2} - 2 t) - f (2 t^{2} - k) > 0$ 成立，求k的范围；
（ⅱ）设函数 $g (x) = 2 x + b$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数b的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} + (\frac{1 - 2 a}{a b}) x - \frac{2}{a}$ ， $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ .

(1)、当 $b = 1$ ，且 $a < 0$ 时，解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若 $a > 2$ ， $b > 2$ ， $f (1) = 0$ ，求 $a + b$ 的最小值.

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18、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\tan α = 2$ ， $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $\tan β$ 的值.

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19、已知函数 $y = \sqrt{2} \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 和 $y = \sqrt{2} \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象相邻的两个交点为A，B，若 $\frac{5}{2} < |A B| \leq 2 \sqrt{2}$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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20、已知函数 $f (x) = \log_{a} (4 - a x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $[0, 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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