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相关试卷

1、坐落于四川省资阳市安岳县的秦九韶纪念馆是四川省第五批省级爱国主义教育基地之一.南宋著名数学家秦九韶在湖州为母亲守孝三年时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数书九章》，它是中国朴素理学思想运用于生活实际的伟大数学成果.书中提出了三斜求积术，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平.设 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边， $S$ 表示 $△ A B C$ 的面积，其公式为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} (a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2})}$ .若已知 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，且 $S = \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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2、已知 $\vec{m}, \vec{n}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，则向量 $\vec{m} - \vec{n}$ 在向量 $\vec{n}$ 上的投影向量为.

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3、2020年11月28日8时30分许，随着一阵汽笛声响，创造了10909米中国载人深潜新纪录的“奋斗者”号完成第二阶段海试，顺利返航.相比于现在先进的载人潜水器制造技术，在人类探秘深海初期，初一代的潜水器只是由钢缆和电话线连接的简易钢铁球壳.小李同学对潜水器很感兴趣，他利用假期制作了一个简易的“初一代”潜水器模型.他的模型外壳使用了面积为 $12 π$ 的金属材料，并在内部用12根等长的钢筋搭建了一个正方体支架.为了研究外壳各个点位与支架之间的受力情况，如图，作出支架的直观图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，设 $P$ 为外壳上的一个动点，则（）

A、存在无数个点 $P$ ，使得 $P A / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ B、当平面 $P A A_{1} ⊥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $2 π$ C、当 $P A / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $2 π$ D、存在无数个点 $P$ ，使得平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$

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4、将函数 $y = sin x$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，得到 $y = f (x)$ 的图象，再将 $y = f (x)$ 的图象向右移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $y = g (x)$ 的图象.已知 $y = g (x)$ 的图象过点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ ，则 $ω$ 的值可以为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $b^{2} + c^{2} = a^{2} - \sqrt{3} b c$ ，则 $A = \frac{5π}{6}$ B、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $A = B$ C、 $a cos B + b cos A = c$ D、若 $sin A = \frac{5}{13}, cos B = \frac{3}{5}$ ，则 $cos C = - \frac{16}{65}$ 或 $- \frac{33}{65}$

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6、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，记 $\vec{a} \otimes \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .如图，在底面为菱形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，且 $A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\vec{A_{1} C_{1}} \otimes \vec{B D} = \sqrt{3}$ B、 $\vec{B A} \otimes \vec{C_{1} D} = 2$ C、 $\vec{D A} \otimes \vec{D_{1} B} = \sqrt{19}$ D、 $\vec{A_{1} D} \otimes \vec{A C} = \frac{\sqrt{19}}{2}$

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7、某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（）

A、线段 $A B$ 与 $G H$ 所在的直线异面 B、线段 $C D$ 与 $E F$ 所在的直线平行 C、线段 $C D$ 与 $G H$ 所在的直线所成的角为 $60 °$ D、线段 $A B$ 与 $E F$ 所在的直线相交

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8、在边长为1的正 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，且 $\vec{m} = 2 \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = - 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，则 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9、我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童 $A B C D - E F G H$ 中， $A B = 4, A D = 2, E F = 8, E H = 4$ ，平面 $A B C D$ 与平面 $E F G H$ 之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（）

A、36 B、46 C、56 D、66

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10、定义： $[\begin{array}{l} a & c \\ b & d \end{array}] = a d - b c$ ，在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则满足 $[\begin{matrix} a & b \\ cos A & cos B \end{matrix}] = 0$ 的 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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11、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 1$ ，记 $\vec{A B} = \vec{c}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $|\vec{b} - \vec{c}| =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、4

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12、下列说法正确的是（）

A、垂直于同一条直线的两直线平行 B、平行于同一平面的两个平面平行 C、过平面外一点只有一条直线与这个平面平行 D、直角三角形绕边旋转一周一定形成一个圆锥

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13、已知 $\vec{a} = (2, 4), \vec{b} = (- 6, λ)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- 12$ B、3 C、12 D、 $- 3$

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14、直线 $3 x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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15、阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $6 π$ ，两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $y = k x$ 与椭圆C交于A，B两点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 4)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 2)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、40 C、6 D、36

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17、斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为 $90^{°}$ 的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为.

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (1, 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} = (0, - 5)$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 5$ C、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

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19、某校学生积极参加社团活动，高一年级共有 $100$ 名学生，其中参加合唱社团的学生有 $63$ 名，参加科技社团的学生有 $75$ 名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有名学生，最少有名学生.

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20、如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是 $x$ 轴与 $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，记为 $\vec{O P} = (x, y)$

(1)、在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，已知 $\vec{a} = (x, y)$ ，求 $|\vec{a}|$

(2)、在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，已知 $\vec{a} = (\sin θ, 2)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 1)$ ， $(\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值.

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