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相关试卷

1、将分别标有号码 $1 ~ 6$ 的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有种.

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2、已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{3}, \sin α \sin β = - \frac{1}{12}$ ，则 $\cos^{2} α - \sin^{2} β =$ ．

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3、设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{7} = 18, 4 a_{3} + a_{6} = 36$ ，则 $S_{8} =$ ．

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4、函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - (2 a + 1) x^{2} + 8 a x + 32 a^{2}$ ，其中 $a$ 是常数，则（）

A、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 是增函数 B、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点，则 $a = \frac{1}{4}$ C、若 $a > 1$ ，且 $f (x)$ 有2个零点，则 $a = \frac{9}{2}$ D、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 有3个零点

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5、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图.
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的有（）

A、该地家庭年收入低于5.5万元的农户所占比例估计为 $16 %$ B、估计该地农户家庭年收入的 $75 %$ 分位数为9万元 C、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

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6、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，下列说法正确的有（）

A、若双曲线的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、若双曲线的通径长为2，则 $a = 2$ C、若 $P$ 是双曲线与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的交点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 D、若点 $Q (3, 2)$ 在双曲线上，则 $|Q F_{1}| - |Q F_{2}| = \sqrt{3}$

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $a^{2} + 4 \sqrt{3} S = {(b + c)}^{2}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，下底面半径为上底面半径的4倍，高为4，体积为 $28 π$ ，则圆台的母线与下底面所成角的正切值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \begin{array}{l} - 2 a x, x \leq - 1, \\ a^{x}, x > - 1, \end{array} \end{array}$ 若对任意 $x_{1} \neq x_{2}, \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(1, \sqrt{2})$ D、 $[\sqrt{2}, + \infty)$

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10、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 3$ ，半径为3的圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 外切，则点 $C_{2}$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 4$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 24$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 24$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, m)$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $m =$ （）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $1$ D、 $- 1$

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12、已知命题 $p : \forall x \in (0, 9), {log}_{3} x < 2$ ；命题 $q : \exists x \in (0, 4), x^{2} < \sqrt{x}$ ．则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 C、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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13、已知集合 $A = \{x ∣ - 27 < x^{3} \leq 8\}, B = \{x ∣ x \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- 3, 2]$ D、 $(- 3, 0]$

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14、已知复数 $z = - 2 + 4 i$ （i为虚数单位），则复数 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 仅满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为 $π$ ；②最大值为2；③ $f (0) = - 1$ ；④ $f (- \frac{π}{6}) = 0$ .

(1)、请找出函数 $f (x)$ 满足的三个条件，并说明理由和求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + n cos (2 x + \frac{π}{3})$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处取得最大值，求实数 $n$ 的值及 $g (x)$ 的值域；

(3)、若函数 $f (x)$ 在 $[0, t]$ 上的最大值比最小值大1，求实数 $t$ 的值.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $Q$ 为棱 $P C$ 的中点，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 2 A D = 2, ∠ A B D = 30 °, P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，直线 $B P$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求三棱锥 $A - B C Q$ 的体积；

(3)、求直线 $D Q$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $2 c = 3 b cos C + 3 c cos B$ ， $cos B = \frac{9}{16}, △ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、求 $cos (2 A + \frac{π}{6})$ 的值.

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18、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $E$ 是棱 $D_{1} D$ 的中点， $F$ 是棱 $B B_{1}$ 上的动点.

(1)、求证： $D_{1} B / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求证： $A C ⊥ D F$ .

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\cos A, \sin B), \vec{m} ∥ \vec{n}, \vec{B D} = 2 \vec{D C}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ ，求 $△ A D C$ 的面积 $S_{△ A D C}$ .

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20、在空间内，若 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ A O C = 60^{\circ}$ ，则直线 $O A$ 与平面 $O B C$ 所成角的余弦值为.

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