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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (4 x + a) ln (x + 1)$ ， $g (x) = x^{2} + b x$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在原点处的切线重合，且函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 有且仅有三个极值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 1) x + 5, x \in (- \infty, 2) \\ a^{x}, x \in [2, + \infty) \end{array}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上具有单调性，则实数 $a$ 的取值范围是．

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3、在 ${(3 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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4、已知圆的圆心为 $(1, - 2)$ ，且直线 $3 x - 4 y + 14 = 0$ 与圆相切，则圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$

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5、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{7}$

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6、若 $i^{2025} z = 1 + i$ ，则复数 $z$ 对应的点位于第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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7、已知集合 $A = {x \in N ∣ - 1 \leq x < 4}$ ， $B = \{x| y = \sqrt{x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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8、已知函数 $f (x) = (2 \log_{4} x - 2) (\log_{4} x + \frac{1}{2})$ .

(1)、当 $x \in [1, 16]$ 时，求该函数的值域；

(2)、求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(3)、若 $f (x) < m \log_{4} x$ 于 $x \in [4, 16]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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9、已知函数 $f (x) = \log_{4} \frac{x - 2}{x + 2}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，且满足 $\vec{F_{1} F_{2}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，倾斜角为锐角的渐近线与线段 $P F_{1}$ 交于点 $Q$ ，且 $\vec{F_{1} P} = 4 \vec{Q P}$ ，则 $\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |}$ 的值为.

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11、已知 $S_{n}$ 是各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n + 1} a_{n} - 3 a_{n}^{2} = 0$ ， $S_{3} = 13$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为.

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12、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $7 a_{1} + 2 S_{2} = 2 S_{3}$ ，则 $\frac{a_{8}}{a_{12}} =$ （）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{49}{4}$ D、 $\frac{4}{49}$

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13、如图，已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左､右焦点， $P, Q$ 为双曲线 $C$ 上两点，满足 $F_{1} P ∥ F_{2} Q$ ，且 $|F_{2} Q| = |F_{2} P| = 3 |F_{1} P|$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (x + 1)$ 为奇函数，若 $f (0) + f (3) = 3$ ，则（）

A、 $f (x - 1) = f (x + 1)$ B、 $f (2025) = 3$ C、函数 $f (x)$ 的周期为2 D、 $f (2024) = 3$

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15、在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且以 $\vec{u} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 为方向向量的空间直线l的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ；
（2）过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且 $\vec{v} = (m, n, t) (m n t \neq 0)$ 为法向量的平面 $α$ 的方程为 $m (x - x_{0}) + n (y - y_{0}) + t (z - z_{0}) = 0$ ．
现已知平面 $α : x + 2 y + 3 z = 6$ ， $l_{1} : \{\begin{array}{l} 6 x - 3 y = 2 \\ 3 y - 2 z = 1 \end{array}$ ， $l_{2} : x - 3 = y = 1 - z$ ， $l_{3} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 4}{- 2}$ ，则（）．

A、 $l_{1} ⊥ α$ B、 $l_{2} ∥ α$ C、 $l_{3} ∥ α$ D、 $l_{1} ∥ α$

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16、若 $\vec{a} = (- 1, 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 3, - 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 10$ C、8 D、10

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17、已知向量 $\vec{m} = (x, 1)$ ， $\vec{n} = (- 2, 4 + x)$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2 + \sqrt{3}$ 或 $- 2 - \sqrt{3}$ B、 $- 4$ C、2 D、4

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18、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3, 4)$ ，则 $5 \sin α + 10 \cos α$ 的值为（）

A、11 B、10 C、12 D、13

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19、已知直线 $l : y = k x + 1$ 与抛物线 $Γ : x^{2} = 4 y$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、求 $|A B|$ （用 $k$ 表示）；

(2)、过点 $A, B$ 分别作直线 $l$ 的垂线交抛物线 $Γ$ 于 $D, C$ 两点.
（i）求四边形 $A B C D$ 面积的最小值；
（ii）试判断直线 $l$ 与直线 $C D$ 的交点 $Q$ 是否在定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由.

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20、平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = \frac{1}{2} A B = 2, ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $P D E$ 位置时， $P C = 4$ .

(1)、求证： $C E ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $P D E$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值.

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